(Μ + H)dB =-m[(X i cosL + У, sin L )sinfi-Z , cos5] +

+ (л:0 cos L +yasin L) sin В + ^ {e2da + ade2)sin 2В -

(2.18)

- εχ(Z, sin L sin В + У, cos 5) + ε^ (Z, cos L sin β + Z, cos 2?);

(N + H)cosBdL = x0sinL - y0cosL + Z, (f^sinL + excosL) -

- ε ζ (yjsinLZjCosL).

Формулы (2.18) позволяют найти изменения геодезических эл­ липсоидальных координат при изменении размера и формы эллип­ соида и его ориентирования внутри Земли. Заметим, что для эл­ липсоида вращения изменения широты и высоты не зависят от поворота вокруг оси Z, поэтому в первые два уравнения (2.18) угол ε, не входит. А изменение долготы не зависит от масштаба т.

§ 6. СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Рассмотрим сферическую систему координат.

Сферические координаты г, Ф, L (или г, Θ, L) показаны на рис. 2.4: г - полярный радиус-вектор; Ф - геоцентрическая широ­ та; Θ - полярное расстояние, являющееся дополнением широты до 90°; L - долгота

Θ = 90° - Ф.

(2.19)

Рис. 2.4. Сферическая система координат

43

Сферические	координаты связаны с прямоугольными соотно­
шениями
X -	rcosOcosL, Y - rcosOsinL, Z = rsinO
или	(2.20)

X = rsin0 cosL, Y - r rsinfl sinL, Z = rcos0.

Обратный переход от координат X, Y, Z к координатам г, Ф, L выполняют с помощью преобразований

г2 = X 2 + Y2	+Z 2,
Z
^Ф =
•Jx2 + Y2 '		(2.21)

§ 7. СПЕЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ СЖАТОГО ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ

В специальной эллипсоидальной системе координат (рис. 2.5) положение точки Р определяется малой полуосью b проходящего через эту точку эллипсоида, софокусного отсчетному, приведен­ ной широтой и и долготой L. Согласно рис. 2.5 радиус Q парал­ лели определяется выражением

Q=acosu,

(2.22)

а с помощью уравнения меридианного эллипса

можно найти

Z = bs'mu.

(2.23)

Введем линейный эксцентриситет Е = ае, равный половине фо­ кального расстояния, и запишем выражение для большой полу­ оси в виде

а2 =b2 + Е2.

(2.24)

44

ζ

Рис. 2.5. Специальная эллипсоидальная система координат

Так как X = QcosL, Y = £?sinL, получаем формулы связи пря­ моугольных координат со специальными эллипсоидальными

X = л1ь2 + Е 2 coswcosL,

Y = ylb2 + E 2 coswsinL ,

(2.25)

Z= bs\nu.

Вдальнейшем нам потребуются элементы άτ объема и do по­ верхности

	άτ = h{h2h3cosudbdudL, do = h2h3cosududL,					(2.26)
Α,=	Λ/62 + £ 2 sin2 Μ	гг:-----	;---- —	г-:-----	i------	(2.27)
	-------------------, h2 = ylb2 + i?2sin2 w,			Λ3 =yjb2 + E 2cosu.
Система координат b,		и, L	при £ = 0 переходит в сферическую

систему координат г, Ф, L.

Связь координат Ь, и с геодезическими можно установить, при­ равняв правые части равенств (2.6) и (2.25),

(N + Я) cos В = ylb2 + Е2 cos и,

(2.28)

(N + Н - Ne2)sin B = bsin и.

Долгота в обеих системах одинакова.

45

§ 8. НАТУРАЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Силовые линии и уровенные поверхности создают естествен­ ную опору для определения положения в пространстве. При гео­ дезических измерениях приборы почти всегда ориентируют с по­ мощью отвесов и уровней по вектору силы тяжести (отвесной линии), поэтому результаты практически всех измерений зависят от структуры поля силы тяжести. Для определения земной повер­ хности в большинстве случаев измеряют не просто углы и рассто­ яния между пунктами этой поверхности, а их проекции на повер­ хности, ортогональные вектору силы тяжести.

В главе 1 установлено, что через любую точку проходит одна силовая линия и одна уровенная поверхность потенциала силы тяжести, поэтому естественно определять положение точек как пересечение силовой линии и уровенной поверхности. Направле­ ние силовой линии определяют астрономические координаты - широта φ и долгота Я. Астрономическая широта - это дополне­ ние до 90° угла между линией, параллельной оси вращения Земли, и отвесной линией (рис. 2.6). Долгота равна двугранному углу между плоскостями начального астрономического меридиана и ас­ трономического меридиана данной точки. Напомним, что астро­ номическим меридианом называют плоскость, проходящую через отвесную линию и линию, параллельную оси вращения Земли. Си-

ζ Α

46