Для ξΡ - ξ4 = 3 · ΙΟ-6 и s = 100 м ζ4 - ζΡ = 0,3 мм. Выполненные оценки свидетельствуют, что при точности из­

мерений выше 10 _5-10~6 поле силы тяжести нельзя считать одно­ родным и нужно учитывать изменения направления отвеса и кри­ визны уровенных поверхностей на результаты измерений.

§ 71. ОСОБЕННОСТИ РЕДУКЦИОННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РАБОТАХ

Оценим возможные поправки в результаты измерений, выз­ ванные влиянием неоднородности гравитационного поля. Выбе­ рем в качестве поверхности относимости плоскость, проходящую перпендикулярно отвесной линии в какой-либо точке сети. Поло­ жение исходного пункта сети на Земле определяется естественны­ ми координатами φ0,λ 0,Η Ύ0 или прямоугольными геоцентричес­ кими Х0, У0, Ζ0. Определим приращения х - х0, у - у0, ζ - ζ0 координат произвольного пункта Р сети относительно исходного О в местной системе координат Oxyz.

Уклонениями отвеса в местной системе координат будут углы между отвесной линией и нормалью к отсчетной плоскости. На­ правление отвесной линии определено астрономическими коор­ динатами, поэтому в исходном пункте сети, где отвесная линия совпадает с нормалью к отсчетной плоскости, составляющие ξ0, η0 уклонения отвеса равны нулю

ξο = 0 ,η ο =0,

(11.9)

а во всех остальных пунктах сети они равны разностям астроно­ мических координат относительно исходного пункта

ξ = φ - φ0, η = (λ - A0)cos<jо.

(11.10)

Приращения плановых координат находят по известным фор­ мулам

х - х0 = s0cosA, у - у0 = s0sin А.

(11.11)

Расстояние s0 определяется согласно выражению (11.1), а гео­ дезический азимут А - согласно (6.12)

А = а - (Я - X0)s\rup.

(11.12)

350

Подставив равенства (11.1) и (11.12) в формулы (11.11), най­ дем связь приращений прямоугольных координат с измеряемыми величинами

х - х 0 =5^1 + ·^·jcos[a-(A-A0)sin<p],

(11.13)

У~Уо =5|( 1 + р jsin[a -(A -A 0)sin<p],

где р - средний радиус кривизны уровенной поверхности в райо­ не съемки, который можно найти по формуле

р = у [ Ш + Н т,

(11.14)

где М и N - радиусы кривизны меридиана и первого вертикала, вычисленные по средней широте; Нт - средняя высота.

Превышения z - z0 найдем методом астрономического нивели­ рования геодезической высоты, используя формулы (8.8), (8.9). Применим этот метод для определения превышения dz между дву­ мя близкими точками Р{ и Р2 сети. Согласно рис. 11.5 запишем

dz = ds sin(a - ϋ) - ds sina cos# - ds cosa sin#,

где # - среднее значение составляющей уклонения отвеса в азиму­ те линии Р ^ ; a - угол наклона физической поверхности Земли; ds - длина линии.

Р2

Рис. 11.5. К определению превышения над отсчетной плоскостью

Согласно рис. 11.5 ds sina = dh, ds cosa = dsb поэтому

# 2	# 3
dz = dhcos$-ds{sinϋ - d h - TMS{----- dh +— dsx.
2	6

351

Оценим величину двух последних членов в этом выражении. Уклонения отвеса в местной системе, т.е. разности астрономичес­ ких широт и долгот, при расстоянии от исходного пункта сети, равного 10 км, составят около 300" или 1,5 · 10“3 радиана. Инже­ нерно-геодезические сети редко покрывают такие территории, по­ этому можно считать, что

ϋ < 1,5 · 1(Г3 рад.

Превышение dh, измеренное на одном штативе, не превышает 3 м, а расстояние между рейками, т.е. между точками и Р2 (см. рис. 11.5) - 100 м, поэтому

— dh< З1 0 “3	t?3	-4
	мм, — ifc<10	ММ,
2	6

и можно считать, что dz - dh - ddsv

Суммируя превышения dz от исходной точки О сети до лю­ бой точки Р, находим превышение этой точки над отсчетной плос­

костью
	р	(11.15)
	z - z 0 - ^(d h -iM s^),
где	0
ϋ = (φ -	φ0) cos^4 + (A - A0)cos<p sinA	(11.16)

Формулы (11.12) и (11.15) решают задачу определения коор­ динат в местной системе по измерениям на физической поверхно­ сти Земли. Однако для их применения нужно во всех точках сети иметь астрономические координаты. Точность измерения астро­ номических координат составляет 0,3-0,5". Этого достаточно для вычисления уклонения отвеса по формулам (11.10). Однако опре­ деление астрономических координат требует значительных затрат времени. Поэтому целесообразнее определять астрономические координаты только в исходном пункте сети, а во всех остальных находить их с помощью равенств (2.32)

φ = В + А = L + Tj^secp,

где геодезические координаты В, L и астрономо-геодезические ук­ лонения отвеса <^г, ηΑΓ относятся к одному и тому же референцэллипсоиду. Используя такое представление астрономических ко-

352

ординат, уклонения отвеса в местной системе можно найти по формулам

ξ = Β - Β 0+ξ ΑΓ- ξ ΑΓ,

(11.17)

п = (L - L0).cosφ +η АГηΑΓ.

Разности ξ ΑΓ - ξ ΑΓ, η ΑΓ - η ΑΓ можно найти по гравиметри­

ческой съемке.

Заметим, что инженерно-геодезические измерения можно об­ рабатывать как пространственную сеть описанными в главе 6 методами. В этом случае также сохраняются требования опреде­ ления уклонения отвесных линий во всех пунктах сети для приве­ дения топоцентрических координат измерительных точек в еди­ ную систему.

§ 72. РЕДУЦИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В МЕСТНУЮ ПРЯМОУГОЛЬНУЮ СИСТЕМУ КООРДИНАТ

Поправка в горизонтальное направление. Поправка AU в гори­ зонтальное направление для редуцирования к поверхности эллип­ соида получена в главе 6 (см. формулы (6.1), (6 .8 ), (6.9)). В инже­ нерно-геодезических сетях при редуцировании на плоскость нор­ мали к отсчетной поверхности во всех точках параллельны и поправки и <53 равны нулю, поэтому

AU - δ] =-t?4 + 90 ctgZ,

где ϋΑ + 9 0 - составляющая уклонения отвеса в азимуте, перпенди­ кулярном измеренному направлению. Используя формулу (6.2) составляющей уклонения отвеса в произвольном азимуте и фор­ мулы (11.17), получим

ϋΑ + 9 0 = - fyinA + TjcosA - - (В - В^)ш\А + (L - L0)cosB cos/ί -

- ( ξ - ξ0)ΑΓ sinA + (η - %)AFcosA.

Для небольших расстояний разности широт и долгот можно находить приближенно

р (В - В0) = 5 cosА , p(L - L0)cosB = s siir4,

(11.18)

353

тогда содержащие эти разности члены исключаются из последнего равенства и поправка в горизонтальное направление принимает вид

АС/ = Η ξ - ξ0)ΑΓ sin/1 + ( 7 7 - n0)ArcosA] ctgZ.

(11.19)

Поправка в астрономический азимут. Эту поправку нужно учи­ тывать при переходе от астрономического азимута, измеренного гиротеодолитом или астрономическими приборами к азимуту в локальной системе координат. Используя формулу (6.11) и считая в ней поправки δ{ и ^ равными нулю, получим

Α α = Λ - α = δι - η tgВ = AU - η tgВ.

Введем сюда выражения для поправки AU и составляющей уклонения отвеса η в местной системе координат. Тогда для по­ правки Аа в астрономический азимут получаем

Аа = [-(ξ - ξ0)ΑΓ siib4 + (η - rjJ^cosΑ] ctgZ - [(L - L0)cosB +

+(η - η0)ΑΓ] tgB.

(11.20)

Перенос азимута в шахту рассмотрен в монографии [5]. Пусть нужно перенести азимут А линии РQ, приведенный поправкой (1 1 .2 0 ) в локальную прямоугольную систему координат, в шахту на глубину z - z0. Для этого нужно спроектировать точки Р и Q вниз по координатным линиям РР0 и QQ 0 (рис. 11.6). Практичес­ ки проектирование выполняют с помощью оптического центрира или нитяного отвеса. Вследствие отличия направления силы тя-

Q

Рис. 11.6. Перенос азимута в шахту

354

жести от координатных линий локальной системы в таком случае проекции Р', Q не совпадут с точками Р0 и Q0. Кроме того, из-за кривизны силовой линии проекции с помощью отвеса и оптичес­ кого центрира не совпадут между собой. Поясним это с помощью рис. 11.7. Здесь Р{ - проекция точки Р на отсчетную плоскость Р0Р' по силовой линии поля силы тяжести; оптический центрир ориентирует инструмент по направлению gxсилы тяжести в изме­ рительной точке Р (по отвесной линии), в этом случае точка Р будет спроектирована в точку Р'; нитяной отвес РР" расположит­ ся по направлению силы тяжести в точке, где находится груз это­ го отвеса; это направление практически совпадает с направлени­ ем отвесной линии в точке Pj.

Р

Рис. 11.7. Влияние кривизны силовой линии на положение проекции точки

Вернемся к рис. 11.6. Здесь Р0Q0 - проекция линии РQ по нор­ малям к отсчетной плоскости, поэтому азимут А этих линий оди­ наков. При проектировании по отвесным линиям прямая Р'Q' будет иметь азимут А + АА, отличный от исходного азимута на поверхности Земли. Найдем поправку в азимут. Проведем плос­ кости через нормали РР0 и QQ0, перпендикулярные линии РQQ0\ они пересекут линию Y Q в точках р и q соответственно. Рассто­ яния Р0р и Q0q можно определить через составляющие уклонения отвеса в азимуте А + 90°:

РоР = Фа + 90)p(z - z o)> Q o4 = (t>A + 90)<7 (Z “ Zo)·

355

Если глубина ζ - ζ0 шахты в точках Р и Q одинакова, поправ­ ку в азимут можно найти из соотношения

РЧ

Подставив сюда значения Q0q и Р0р и выражение для состав­

ляющей уклонения отвеса, получим
ΔΛ = ~[(ξρ - ξ0)ΑΓ sin А - (щ - η 0)ΑΓ cos А]^— ^ ·.	(i i .21)
S0
В формуле (11.21) нужно использовать разности (ξρ -	ξ0)ΑΓ и

(η - η0) г уклонений отвеса в точках Q и Р поверхности Земли, если использованы оптические центриры, и в точках Q' и P' шах­ ты, если использованы отвесы.

Поправка в зенитное расстояние согласно (6.14) равна состав­ ляющей # уклонения отвеса в азимуте измеряемого направления

ΔΖ =ϋ = <f;cosА + rjsinА.

Учитывая формулы (11.17) составляющих уклонения отвеса в локальной системе, для поправки ΔΖ в зенитное расстояние по­ лучим

ΔΖ = {ζΑΓ - ξ ΑΓ)οο$Α + (ηΛΓ - q Ar)sinA +

+ (В - В 0)cos A + ( L - L0)cos В cos A.

Если использовать равенство (11.19) и учесть что s /р - ψ, то

ΔΖ = (ξΑΓ - ξ ΑΓ)οο$Α + (ηΑΓ - η ΑΓ)$ιηΑ + ψ.

(11.22)

Створные наблюдения. Оценим влияние наклона вертикальной оси инструмента на определение нестворности. Назовем створом плоскость, проходящую через отвесную линию Оо в точке О и точ­ ку Р (рис. 11.8). Из-за непараллельное™ отвесных линий в точках О и Р плоскость, проходящая через отвесную линию Рр в точке Р и точку О не совпадет со створом и пересечется с ним по линии ОР. При наблюдении с точки Р все точки створа, не лежащие на этой линии, будут казаться не лежащими в створе с точкой О. Нествор-

356

ностью δ = М0М является расстояние от точки М створа до точки М0 - проекции точки М на плоскость РрО. Согласно рис. 11.8

δ = ψ Η 9

(11.23)

где ψ - составляющая угла между отвесными линиями в точках О

иР в перпендикулярной к створу плоскости; И- расстояние точки

Мдо линии ОР. Если ψ = 1", А = 10 м <5 = 0,05 мм и влияние непараллельности уровенных поверхностей можно считать пре­ небрегаемым.

Рис. 11.8. К выводу поправки в створные наблюдения

Редуцирование линейных измерений можно выполнять по фор­ мулам (11.1) или (11.11), если измерено расстояние от исходного пункта сети. Кроме того, эти формулы получены в предположе­ нии постоянства кривизны уровенной поверхности. Получим фор­ мулу для редуцирования расстояния между любыми пунктами Р{ и Р2 сети, причем примем во внимание, что в инженерно-геодези­ ческих сетях обычно измеряют малые расстояния порядка несколь­ ких десятков метров. Согласно рис. 11.5

ds0 = dscos{a-$) = dscosacos$Ar + dss\nasm $Ar =ds{ + ϋΑΓά}ι,

где ϋ*Γ - среднее значение составляющей уклонения отвеса на от­ резке ds в азимуте этого отрезка

ϋ- ] ^ { ϋ χ+ϋ2)ΑΓ - ^-[(<jP2 ~(p\)cosA + (X2 - X])coscpsinA] =

=^ [ ( £ 2 ~ ξ ύ ΑΓ cosΑ + (η2 -T?i)'4 rsin Α\ + ψ,

357