Угол между касательными к уровенным поверхностям U - Ux и U = U2чпроведенными в точках 1 и 2, равен отношению расстояния h между этими точками к радиусу 1 /К кривизны силовой линии, h - дуга силовой линии. Проведем линию 2 - 2', параллельную ка­ сательной к уровенной поверхности U = £/1? и с помощью рис. 3.2 для превышения dh найдем

dh = dx hK

и после подстановки выражения (3.76) радиуса кривизны силовой линии получим

dh - (β/R) h sin2Bdx.

На широте 45° при h = 10 м dft = 0,008 мм даже для рассто­ яния dx = 1 км. В геометрическом нивелировании расстояние между рейками не превышает 100-150 м, расстояние h между уровенными поверхностями (нивелирное превышение) - 3 м. В этом случае превышение dh одной уровенной поверхности над другой составит 0,0003 мм. Поэтому при нивелировании на каждой стан­ ции нормальные уровенные поверхности можно считать парал­ лельными. Однако непараллельность нормальных уровенных по­ верхностей вызывает систематическое изменение высоты точки уровенной поверхности над эллипсоидом. Этот эффект учитыва­ ют введением специальной поправки в результаты геометричес­ кого нивелирования.

§ 19. СИСТЕМА КООРДИНАТ В НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ

Силовые линии и уровенные поверхности нормального поля можно использовать в качестве координатных линий и поверхно­ стей, аналогично тому, как это было сделано в натуральной си­ стеме координат <р, Я, W0 - W. Назовем координатами точки в нормальном поле нормальную широту Ву\ долготу L и нормаль­ ное геопотенциальное число U0 - U. Дадим определение этих понятий:

нормальная широта В7 - угол между направлением нормальной силы тяжести и плоскостью экватора;

долгота L - угол между плоскостью начального меридиана и меридиана данной точки; поскольку нормальная силовая линия лежит в плоскости геодезического меридиана, долгота в нормаль­ ном поле совпадает с геодезической;

91

нормальное геопотенциальное число U0 - U - разность нормаль­ ных потенциалов между эллипсоидом и данной точкой.

Наряду с геопотенциальным числом в качестве третьей коор­ динаты можно использовать высоту в нормальном поле - отрезок нормальной силовой линии от точки Pj пересечения силовой ли­ нии с поверхностью уровенного эллипсоида до точки Р.

Высота и широта в нормальном поле и геодезические широта и высота показаны на рис. 3.3. Из-за кривизны нормальной силовой линии широта и высота в нормальном поле отличаются от геоде­ зических. Сравним эти координаты.

Обратимся к рис 3.3. Нормальная широта как внешний угол треугольника Ррр2 равна сумме геодезической широты В и угла ε между нормалью РР0 к эллипсоиду и отвесной линией Рр2. Оценим угол £ Будем считать отрезок PjP = Нн силовой линии от эллипсо­ ида до точки Р дугой окружности радиуса ПК Проведем касатель­ ную pjp,7 к этой окружности в точке Р, пересечения силовой линии с эллипсоидом; эта касательная является нормалью к эллипсоиду в точке Pj. Угол между касательной рхр{ и вектором нормальной силы тяжести отличается от угла £ из-за отличия направлений нормалей к эллипсоиду в точках Р0 и Поскольку точки Р0 и Pj близки между собой, можно не учитывать это отличие и считать угол меж­ ду отвесной линией Рр2 и линией рхр[ равным ε. Так как угол меж-

Рис. 3.3. Кривизна силовой линии и система координат в нормальном поле

92

ду касательными равен центральному углу окружности, соответ­ ствующему дуге Нн, получаем

(3.77)

Для среднего значения радиуса кривизны

ε = 0,171"tfsin25,

(3.78)

высота Н выражена в километрах. Поскольку угол ε мал, в этой формуле вместо высоты Нн использована геодезическая высота Н.

Согласно формуле (3.78), угол между нормальной силой тяжес­ ти и нормалью к эллипсоиду достигает значения 0 ,2 " на широте 45°, если высота точки над эллипсоидом равна 1 км.

Используя полученное для ε выражение, находим связь широ­ ты в нормальном поле с геодезической

Ву - В л- 0,171'7/sin25.

(3.79)

Нормальная широта всегда больше геодезической. Их отличие существенно и учитывается при точных вычислениях.

Рассмотрим отличие геодезической высоты от высоты в нормальном поле. Установим предварительно связь высоты в нормальном поле с нормальным геопотенциальным числом. На рис. 3.4. dHH отрезок силовой линии PPj между двумя близкими уровенными поверхностями нормального поля. Согласно выра­ жению (1.7) между разностью dll потенциалов на этих поверхно­ стях, нормальной силой тяжести / и расстоянием dHH существует зависимость

dU = - ydHH.

(3.80)

Р

п н 7 dHн

Эллипсоид

Рис. 3.4. Высота в нормальном поле

93

Интегрируя это выражение вдоль силовой линии РР1? получим

р	р	р
\d U = -{U0- U ) = - \ y d H H =- у тJ dHн = - у тН н ,
h	Р\	Р\
откуда		Ц р - и
	Н н =	(3.81)

У т

где ут - среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке силовой линии.

Определим разность геодезической высоты и высоты в нормаль­ ном поле. Считаем опять отрезок PPj силовой линии дугой окруж­

ности, тогда
н н =-K '	Н -	sine
		~ΊΓ
поэтому
Н н - Н = ε 3	_ Р 2 Я 3	.sin2 2 В.	(3.82)
Ш	6 R 2

Максимальной величины разность высот достигает на широте 45°. Но даже в этом случае отличие высоты в нормальном поле и геодезической высоты составит всего 0,01 мм при Н = 10 км, поэто­ му практически можно считать высоты одинаковыми.

Оценим расстояние между точками Р0 и Pj (см. рис. 3.2). Если не принимать во внимание несовпадение точки Р0 и точки пересе­ чения нормали к эллипсоиду с линией оР15 то

ε 2

Р0 Р! = oPj - оР0 = ε/Κ-1/Kcose = — ,

где о - центр кривизны дуги РР^ Подставив сюда выражение для угла £, найдем

p ° P i = i ^ r s in 2 5 ·

(3·83)

Для среднего радиуса Земли R = 6371 км

Р0 Р, = 0,392 Я2,

где высота Н выражена в километрах, а расстояние P0Pj - в милли­ метрах. Для высоты в 1 км расстояние между пересечением норма­

94

ли к эллипсоиду и силовой линией составит всего 0,4 мм, а для мак­ симально возможной на Земле высоты 10 км - 4 см. Поэтому прак­ тически проекции точки Р на эллипсоид по нормали к его поверх­ ности и по силовой линии нормального поля неразличимы.

Таким образом, долгота и высота в нормальном поле совпада­ ют с геодезическими, а для перехода от одной системы широт к другой следует учитывать поправку (3.78) за кривизну нормальной силовой линии и пользоваться формулой (3.79).

§ 20. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ УРОНЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

В результате решения проблемы Стокса для эллипсоида враще­ ния было установлено, что для нахождения нормального потенци­ ала силы тяжести нужно задать четыре постоянные - GM, b0, Е, со. Этот результат следует из теоремы Стокса. Две постоянные - Ъ0 и Е - определяют размер и форму уровенной поверхности, осталь­ ные задают массу Нормальной Земли и угловую скорость ее вра­ щения.

Однако в дальнейшем при нахождении потенциала и силы тя­ жести появились иные параметры: большая полуось а0, сжатие ос, эксцентриситет е0 эллипсоида, потенциал U0 на его поверхности, сила тяжести уе и у на экваторе и полюсе эллипсоида, разность (С - А) моментов инерции и связанный с нею коэффициент J2, па­ раметр fri, коэффициенты Д Д, к нормальных формул, коэффици­ енты J2nи А2п разложения нормального потенциала в ряд шаровых функций. Для определения потенциала уровенного эллипсоида до­ статочно знать четыре постоянные. Это означает, что перечислен­ ные постоянные должны быть связаны между собой и не могут на­ значаться произвольно.

Постоянные, определяющие Нормальную Землю и ее поле, де­ лятся на геометрические и физические. Параметры геометрические определяют размер и сжатие уровенного эллипсоида. Эти парамет­ ры и связи между ними известны из сфероидической геодезии. При­

ведем основные соотношения
Е2 = а 2 - Ь 2· е = Е1а0;	е'=Е1Ь0;	а - (а0 - Ь0)/а0;
К = J a l - E 2 = а0V l - e 2 = а0{\ - а);		е2 = 2а - а 2; (3.84)
е 2 = е2/( 1 - е 2),	а = 1 -	V l - e 2 .

95

К физическим параметрам относятся постоянные, имеющие физический смысл и определяющие поле Нормальной Земли. Это стоксовы постоянные А2п и угловая скорость вращения, потенциал

исила тяжести на поверхности эллипсоида.

Всоответствии с представлением потенциала в виде ряда пара­ метры Нормальной Земли классифицируют следующим образом.

Параметры нулевого порядка, определяющие массу и размеры Нормальной Земли:

-геоцентрическая гравитационная постоянная GM\

-потенциал иосилы тяжести на поверхности Нормальной Земли;

-полуоси а0, Ь0 уровенного эллипсоида;

-значения уеи у силы тяжести на экваторе и полюсе Нормаль­ ной Земли соответственно;

Параметры порядка сжатия (параметры второго порядка). К

этой группе относятся безразмерные постоянные, имеющие поря­ док сжатия, связанные с коэффициентом при полиноме Лежандра второй степени в разложении потенциала:

-зональный гармонический коэффициент второй степени J2\

-сжатие а и квадраты е2 и e ' 2 эксцентриситетов уровенного эллипсоида;

-коэффициенты β и к нормальных формул;

-	_	с02ао	_ ω2α\
	параметры q	--------	и т = ------, связанные с угловой ско-
ростью вращения.		уе	GM
		' е

Параметры высших порядков. К этим постоянным относят ко­ эффициент β! нормальной формулы и коэффициенты J2n разложе­ ния потенциала.

Чтобы определить нормальное гравитационное поле нужно задать две постоянные нулевого порядка - одну, связанную с мас­ сой, а вторую, задающую размер уровенного эллипсоида, и две постоянные порядка сжатия - одну, определяющую сжатие эллип­ соида, а вторую, связанную с угловой скоростью вращения. Ос­ тальные параметры можно вычислить, исходя из соотношений, которыми связаны параметры уровенного эллипсоида. Некоторые из этих соотношений уже получены. Так, формулы (3.5) и (3.39) дают потенциал U0 на поверхности эллипсоида, формулы (3.54), (3.55) и (3.57), (3.58) определяют экваториальную уеи полярную ур силу тяжести, формулы (3.63), (3.64) связывают параметры поряд­ ка сжатия с постоянными нулевого порядка, формула (3.66) позво­ ляет вычислить постоянную β! по известным параметрам порядка сжатия. Получим еще некоторые соотношения, играющие важную роль в геодезии.

96

Из выражений (3.57) и (3.58) можно найти соотношения, связы­ вающие геометрические (а0, Ь0, Е) и физические (GM, уе, у) пара­ метры уровенного эллипсоида и угловую скорость соего вращения

1	GM		(3.85)
	аоГр + 2 ЬоУе
3		ао
		1 - % arctg-^
a0Yp - b j e =2o)2a0E-		Е	Ъп
		и1 Л	(3.86)
	| +	з 4	arctg-----3-

Формула (3.85) получена М.С. Молоденским. Тождество (3.86) принадлежит П. Пицетти (1860-1918) и имеет смысл формулы Клеро (см. введение, последняя из формул (3)).

Формулу (3.85) можно также получить с помощью тождества (3.11), применив его к потенциалу уровенного эллипсоида. В этом

случае интеграл по поверхности преобразуется к виду JJr70da,

так как на поверхности σ эллипсоида	сШ _
	- ~70, а

ί ; ά σ ’ υ ° ί ί ί ? σ ’ °

σ

в силу свойств гармонической функции. Тождество Грина для потенциала уровенного эллипсоида примет вид

4 * j j j № r =

JJ /Γ Λ + J / r y„rfCT.

(3 87)

ττ σ

Интегрирование по этой формуле удобно выполнять в системе координат b, и, L, используя выражение (3.60) для у0 и формулы (2.26), (2.27), с помощью которых можно получить

ά τ - b2 + - Е 2 + - E 2P2(sin и)			cos ududbdL,
3	3	2V ’

da = α0-Jb2 + E 2sin2иcos ududL.

97

При Г = 1 тождество (3.87) дает формулу (3.85).

Найдем разность С - А полярного и экваториального момен­ тов инерции эллипсоида. Выберем для этого гармоническую функ­ цию в виде

	Г=	— z2 = ^ Е 2 ~^(3b2 + E 2)P2(sinu).
	Выполняя интегрирование, получим
			G (C -A ) =
	■-G M E 2 - — со2а2Е 3			1	(3.88)
				Е Л 0
	3	45	L2 \
			1+ з Д К « г - - з -

Эта формула также получена П. Пицетти в 1913 г. Ее удобнее использовать в виде

сo2a2E = \5GM \ 3С (С -Л )1 у (-1)п+'п ί £ \ 2n+l	(3.89)
GME2 \£ t(2 n + l)(2n +3){b )

применив разложение (3.33). Так же, как и (3.47), формулы (3.85), (3.86) и (3.88), (3.89) играют фундаментальную роль, поскольку они устанавливают связь геометрических и физических параметров уровенного эллипсоида. С помощью этих формул определяют ус­ ловия, при которых возможно существование уровенного эллип­ соида для заданных значений разности моментов инерции и угло­ вой скорости вращения.

Полученные соотношения между параметрами уровенного эл­ липсоида являются точными равенствами и позволяют вычислять параметры нормального поля при различных наборах исходных постоянных. Возникает вопрос, какие из этих постоянных выбрать в качестве исходных для задания нормального поля уровенного эллипсоида вращения. Это связано с измерениями, поскольку нор­ мальное поле следует выбирать так, чтобы параметры Нормаль­ ной Земли были равны соответствующим параметрам реальной Земли. Здесь мы подходим к понятию фундаментальных геодези­ ческих постоянных.

98