2.11 Основные задачи аналитической геометрии

Основной метод аналитической геометрии - метод координат. Его сущность: каждой точке М поставлены в соответствие пара или тройка чисел, называемых ее координатами. Каждой фигуре поставлено в соответствие уравнение F(x,у)=0 или F(x,у,z)=0. Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии:

1) по геометрическому свойству фигуры составить ее уравнение;

2) по уравнению исследовать свойства и форму геометрической фигуры.

2.12 Прямая на плоскости

П остановка задачи Даны точка М_о (x₀ , y₀) и вектор (A, В) Написать уравнение прямой l, перпендикулярной вектору и проходящей через точку M₀.

Точка M(x,y) - текущая точка прямой l.

тогда и только тогда, когда

и (A, В) - ортогональны,

следовательно скалярное произведение

или А(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Итак, получили уравнение прямой, проходящей через точку M₀ и перпендикулярной .

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Последнее уравнение запишем в виде

Ax+By+D=0 - оно называется общим уравнением прямой.

Другие виды уравнений прямой на плоскости:

- уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (х₀ , у₀) и параллельной вектору (m, n).

у =kx + b - уравнение прямой с угловым коэффициентом к,

где k =tg ,

b - отрезок, отсекаемый прямой на оси OY.

у - у_о = k(x - х_о)

- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М₀(х₀, у₀)

- уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁ , y₁) и M₂(x₂ ,y₂).

- уравнение прямой в отрезках.

Между всеми этими уравнениями существует связь, то есть, если задана прямая одним из уравнений, то можно перейти к любому из перечисленных видов.

Пример 23. Написать различные виды уравнений прямой, проходящей через две точки М₁(2, 0); М₂(0, 3).

Решение

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, находим

или

Из последнего уравнения с помощью преобразований можно перейти к другим видам уравнений этой же прямой.

Уравнение прямой в отрезках:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Общее уравнение прямой: Зх + 2у - 6 = 0, где вектор (3, 2) перпендикулярен данной прямой.

Пример 24. Найти уравнение стороны АВ и высоты, опущенной из вершины А в треугольнике АВС, где А(0, 1); В(-2. 3); С(0, 6).

Решение

Уравнение стороны АВ - это уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

или

Чтобы написать уравнение высоты из вершины А, найдем координаты вектора , который ей перпендикулярен:

Используя уравнения прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору , находим уравнение высоты:

2(х-0)+3(у-1)=0 или 2х+3у-3=0.

2.13 Плоскость в пространстве

Постановка задачи. Даны точка М₀(х₀ ,у₀ ,z₀ ) и вектор (A,B, С). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М_о, перпендикулярно вектору .

М(х, у, z) - текущая точка плоскости. Точка М принадлежит искомой плоскости тогда и только тогда, когда вектор то есть, когда скалярное произведение векторов

или в координатной форме

А(x-y₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

Полученное уравнение является уравнением плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀ ) перпендикулярно вектору (A,B,C).

Вектор называется нормальным вектором плоскости. Если в последнем уравнении приведем подобные члены, то получим общее уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D=0.

Уравнение плоскости в отрезках:

Используя условие компланарности трех векторов, можно записать уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и параллельную векторам и

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

Пример 25. Найти уравнение плоскости P₁, проходящей через три точки M₁(1,0,4); М₂(-2,1,3); М₃(0,7,1) и уравнение плоскости Р₂, проходящей через точку Мз, причем

Решение

Уравнение плоскости р₁, проходящей через три точки, имеет вид:

Вычисляя определитель, получим 4(х - 1) - 8у - 20(z - 4) == 0;

x-2y-5z+ 19=0 - уравнение плоскости Р₁.

Так как вектор и , , то, используя уравнение плоскости, проходящей через точку М₃ перпендикулярно вектору найдем уравнение плоскости Р₂

-3(х-0) + 1(у-7) - 1(2-1) = О или 3х-у +z+6=0.