5. Итоговый тест
1. Для каких матриц существуют произведения АВ и ВА. Привести пример.
2. Вычислить, используя свойства:
.
3. Дать определение линейно зависимой системы трех векторов. Привести пример.
4. При каком условии система линейных уравнений, записанная в матричной форме АХ=Е, где Е - единичная матрица, имеет единственное решение.
5. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Доказать.
6. Условие параллельности прямых: Ax+By+D=O и A1x+B1y+D1=0.
7. Построить плоскость Ax+By+Cz+D=O, если А=С=0.
8. Записать
каноническое и параметрическое уравнения
прямой, проходящей через точку
направляющий вектор которой коллинеарен
оси OZ.
9. Записать каноническое уравнение эллипса с центром в точке А(a,b).
10. Решить уравнение:
11. Расстояние между точками А(2,y,z) и В(х,-4,6) делится пополам в точке М(-2,1,3). Найти координаты точек А и В.
12. Найти угол между
диагоналями параллелограмма, построенного
на векторах
и
.
Сделать чертеж.
13. Точки А(2,0,-1) В(1,3,2); С(5,х,0); D(-3,0,0) являются вершинами пирамиды, объем которой равен 12. Найти х – ординату точки С.
14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(-1,2,0) и параллельной прямой
15. Какие из следующих точек A(-2,7); B(0,1); C(0,5); D(-2,3) лежат на кривой x2+4x+y2-10+25=0? Построить кривую.
6. Вопросы к экзамену
Определение матрицы, линейные операции над матрицами, их свойства.
Произведение матриц, его свойства.
Виды матриц.
Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
Определители матриц. Основные свойства определителей.
Методы вычисления определителя 3-го порядка.
Ранг матрицы. Базисный минор.
Системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли.
Формулы Крамера решения СЛУ.
Однородные системы уравнений
Метод Гаусса решения и исследования СЛУ.
Общее решение СЛУ.
Решение СЛУ с помощью обратной матрицы.
Система уравнений межотраслевого баланса.
Решение систем уравнений межотраслевого баланса в матричной форме.
Коэффициенты полных материальных затрат.
Линейное (векторное) пространство.
Линейная комбинация системы векторов.
Определение линейно-независимой системы векторов.
Базис линейного пространства.
Координаты вектора в данном базисе.
Линейные операции над векторами в геометрической и координатной формах.
Длина и координаты вектора.
Евклидово пространство.
Скалярное произведение векторов, его свойства.
Ортонормированный базис.
Линейные преобразования пространства.
Векторное произведение векторов, его свойства.
Смешанное произведение векторов, его свойства.
Уравнение линии на плоскости и в пространстве.
Прямая на плоскости.
Различные формы уравнения прямой.
Уравнение плоскости. Виды уравнений плоскости в пространстве.
Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Кривые второго порядка, их канонические уравнения.
7. Конспект-схемы основных тем
КС 1 МАТРИЦЫ
Матрица А размерности т п:
, т — число строк, п — число столбцов, обозначается:
или
i
– номер строки,
;
j
– номер столбца,
.
- квадратная матрица третьего порядка.
- диагональная
матрица.
- единичная матрица.
Операции над матрицами
1) Сумма матриц А+В=С, cij=aij+bij.