- •Для экономистов
- •Часть I
- •Для экономистов
- •Часть I
- •Введение
- •2 Курс лекций
- •2.1 Матрицы
- •2.1.1 Общие сведения о матрицах
- •2.1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •2.2 Определители
- •2.2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •2.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5.1 Основные понятия
- •2.5.2 Методы решение систем
- •2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •2.6 Множество геометрических векторов
- •2.6.2 Линейные операции над векторами
- •2.7 Линейное (векторное) пространство
- •2.7.1 Определение линейного пространства
- •2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •2.8 Евклидово пространство
- •2.9 Векторное произведение векторов
- •2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.10 Смешанное произведение векторов
- •2.11 Основные задачи аналитической геометрии
- •2.12 Прямая на плоскости
- •2.13 Плоскость в пространстве
- •2.14 Прямая в пространстве
- •2.14.1 Различные виды уравнений прямой
- •2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
- •2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
- •2.15 Кривые второго порядка
- •3 Руководство к изучению тем курса
- •4 Вопросы и задания для самооценки:
- •5. Итоговый тест
- •6. Вопросы к экзамену
- •7. Конспект-схемы основных тем
- •2) Произведение матрицы а на действительное число
- •3) Произведением матрицы на матрицу
- •- Определитель первого порядка.
- •8. Приложение. Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитеческая геометрия с экономическими приложениями
- •Задания 21 – 40
- •Задания 41 – 60
- •Задания 61 – 80
- •Задания 81 – 100
- •Задания 101 – 120
- •Задания 121 – 140
- •Задания 141 – 160
- •Задания 161 – 172 Будут ли коллинеарными векторы и ?
- •Задания 181 – 200
- •Задания 201 – 220
- •Задания 221 – 240
- •Задания 241 – 260
- •9. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
- •Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- •Светлана георгиевна лукинова высшая математика
- •Часть I Линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
Углом φ между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.
Рассмотрим плоскость
р: Ах + By + Cz + D = 0,
где (A, В, С) - нормальный вектор плоскости;
(m, и, р) - направляющий вектор прямой l.
Пусть a - угол между векторами и , тогда а = 90- φ, следовательно: cosa=cos(90 - φ) =sina.
Из определения скалярного произведения:
или
или
В частности,
если l||p, то тогда Ат+Вп+Ср=0,
если l p, то , тогда
Пример 26. Найти угол между прямыми l: у- 2х + 5 = 0 и l2: 2y+x+3=0
Решение
Следовательно, , то есть прямые перпендикулярны.
Пример 27. Найти точку пересечения прямой
с плоскостью р: х+2у+z - 4=0.
Решение
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
Подставим в уравнение плоскости Р, получим
2t+1+2(t-5)+t+3-4=0, 5t=10 или t=2, тогда х =5, y=-3, z=5.
Точка М (5, -3, 5) является точкой пересечения прямой l с плоскостью Р.
Пример 28. Лежит ли прямая
в плоскости Р: x-y-z-3=0.
Решение
Поступаем так же, как в предыдущей задаче,
получим 2t+ 1 --(t-5)-(t+3)-3=0,
2t-t-t+1+5-3-3=0;
0t = 0, получили тождество, то есть при любом t мы получим все точки прямой l, следовательно, прямая l принадлежит плоскости
Пример 29. Найти угол между прямой
и плоскостью Р: х + 2у + z - 4 = 0.
Решение.
Вектор
Вектор тогда
тогда
2.15 Кривые второго порядка
Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O, называется кривой второго порядка, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля
Если А = В = С = 0, то получим уравнение первого порядка, которое определяет прямую на плоскости
Если данному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, то имеем так называемую мнимую кривую, например, x2+ у2 = -1 есть уравнение мнимой окружности.
В общем случае может оказаться, что уравнение определяет вырожденную кривую - либо пустое множество, либо точку, либо прямую, либо пару прямых (приведите примеры).
В дальнейшем рассмотрим только невырожденные кривые. Можно показать, что для таких кривых существует прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов.
Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответственно эллипса, гиперболы и параболы.
2.15.1 Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных есть величина постоянная.
Пусть М(х,у) - произвольная (текущая) точка кривой, F1 и F2 -заданные точки. По условию:
Пусть
тогда F1(-c;0); F2(c,0)
Так как и , то
Выполним преобразования:
Обозначим:
а2 -с2 = b2 (а > b, почему ?), тогда b2х2 +a2y2=а2b2
или
Итак, получили каноническое уравнение эллипса
Параметры а и b называются полуосями (большой и малой) эллипса, начало координат - центром кривой. Точки f1 (-с, 0) и F2 (с, 0) называются фокусами эллипса, где с2 = а2 -b2.
Число или называется эксцентриситетам эллипса, оно характеризует «сплюснутость» кривой.
В частности, при ε=0, (a=b), имеем
или x2+y2=a2 - каноническое уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат (фокусы F1 и F2 совпадают с центром).
2.15.2 Гиперболой называется множество точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (отличная от нуля).
По условию
или
Выполнив преобразования (сделайте самостоятельно), обозначив a2+b2=с2, получим каноническое уравнение гиперболы
где а и b называются полуосями гиперболы, точки (а, 0) и (-а, 0) - ее вершинами, оси симметрии ОХ и OY - соответственно действительной и мнимой осями, точки F1 (-с, 0) и F2( с, 0) -фокусами гиперболы.
Ч исло называется эксцентриситетом гиперболы.
b
a
Прямые (диагонали прямоугольника в центре), уравнения которых
,
являются асимптотами гиперболы.
Гиперболу, каноническое уравнение которой называют сопряженной, график ее имеет следующий вид:
b
a
2.15.3 Параболой называется множество точек, равноотстоящих от заданной точки, называемой фокусом, и от заданной прямой, называемой директрисой.
Пусть М(х,у) - текущая точка кривой, - заданная точка, фокус;
уравнение заданной прямой (директрисы)
- расстояние от точки М до директрисы, оно равно
По условию или
Выполним преобразования: ;
окончательно каноническое уравнение параболы:
y 2=2xp
O
Число Р называется параметром параболы; точка O(0;0) -вершина параболы;
ось ОХ - ось симметрии параболы;
прямая - директриса параболы, проходит на расстоянии от вершины параболы.
Пример 30. Определить вид кривой, найти ее центр, фокусы и эксцентриситет
x2-4x+4y2 =0.
Решение:
Найдем каноническое уравнение кривой, для этого сделаем преобразования:
x2-4x+4-4+4y2=0
(x-2)2+4y2=4
Окончательно
П олученное уравнение есть каноническое уравнение эллипса, где а=2; b=1; центр эллипса в точке (2,0).
Найдем фокусы, для этого вычислим параметр с:
тогда:
эксцентриситет эллипса -