- •Для экономистов
- •Часть I
- •Для экономистов
- •Часть I
- •Введение
- •2 Курс лекций
- •2.1 Матрицы
- •2.1.1 Общие сведения о матрицах
- •2.1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •2.2 Определители
- •2.2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •2.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5.1 Основные понятия
- •2.5.2 Методы решение систем
- •2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •2.6 Множество геометрических векторов
- •2.6.2 Линейные операции над векторами
- •2.7 Линейное (векторное) пространство
- •2.7.1 Определение линейного пространства
- •2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •2.8 Евклидово пространство
- •2.9 Векторное произведение векторов
- •2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.10 Смешанное произведение векторов
- •2.11 Основные задачи аналитической геометрии
- •2.12 Прямая на плоскости
- •2.13 Плоскость в пространстве
- •2.14 Прямая в пространстве
- •2.14.1 Различные виды уравнений прямой
- •2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
- •2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
- •2.15 Кривые второго порядка
- •3 Руководство к изучению тем курса
- •4 Вопросы и задания для самооценки:
- •5. Итоговый тест
- •6. Вопросы к экзамену
- •7. Конспект-схемы основных тем
- •2) Произведение матрицы а на действительное число
- •3) Произведением матрицы на матрицу
- •- Определитель первого порядка.
- •8. Приложение. Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитеческая геометрия с экономическими приложениями
- •Задания 21 – 40
- •Задания 41 – 60
- •Задания 61 – 80
- •Задания 81 – 100
- •Задания 101 – 120
- •Задания 121 – 140
- •Задания 141 – 160
- •Задания 161 – 172 Будут ли коллинеарными векторы и ?
- •Задания 181 – 200
- •Задания 201 – 220
- •Задания 221 – 240
- •Задания 241 – 260
- •9. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
- •Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- •Светлана георгиевна лукинова высшая математика
- •Часть I Линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
2.3 Обратная матрица
Пусть А - квадратная матрица порядка п;
Е - единичная матрица того же порядка
Матрица В называется обратной для матрицы А, если
АВ = ВА = Е.
Обозначают обратную матрицу А-1.
Матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: det A 0
Теорема существования обратной матрицы
Для каждой невырожденной матрицы А существует обратная А-1.
Теорема единственности обратной матрицы
Если у некоторой матрицы существует обратная, то она только одна.
Доказательство.
Пусть и - обратные матрицы для А, тогда
Умножим слева на последнее выражение, получим
,
Так как А=Е, то - =0 или =
Алгоритм построения обратной матрицы:
1. Найдем Δ - определитель матрицы А. Если Δ 0, то А-1 существует, в противном случае обратная матрица не существует
2. Найдем все алгебраические дополнения элементов матрицы А, то есть: Аij=
3. Запишем обратную матрицу:
(Обратите внимание, что матрица из алгебраических дополнений транспонирована).
Упражнения. Покажите, что:
А·А-1=Е и А-1·А=Е
(А-1)-1=А
(А·В)-1=В-1·А-1
Пример 10. Найти матрицу, обратную для матрицы .
Решение. Найдем определитель матрицы А:
определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует Найдем все алгебраические дополнения:
; ; ;
; ; ;
Итак, обратная матрица имеет вид:
2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
Пусть - матрица любого порядка.
Если выписать произвольно k-строк (k < т) и k-столбцов {k < п) этой матрицы, то получим минор k-го порядка. В этом случае говорят, что минор порождается матрицей А.
Пример 11.
Выписать миноры, порожденные матрицей
Решение
Это будут следующие миноры второго порядка:
Рангом матрицы А называют число, равное наивысшему порядку ее минора, не равного нулю
Обозначают ранг матрицы: rang А; r(А); r.
Для квадратной матрицы разность между ее порядком и рангом называют дефектом матрицы.
Минор порядка r (r = rang А) называется базисным минором.
Справедливы следующие утверждения (доказать самостоятельно):
1.
2. r=0, тогда и только тогда, когда все аij= 0
3. r=п для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.
4. r < п для квадратной матрицы А, если ее определитель Δ = О
Теорема о базисном миноре:
Если ранг матрицы равен r, то любая строка матрицы есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор.
Ранг матрицы удобнее всего определять при помощи элементарных преобразований над ее строками и столбцами.
Элементарными преобразованиями называют:
- перестановку между собой строк;
- умножение всех элементов любой строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число.
Матрицы, полученные одна из другой при помощи элементарных преобразований (как над строками, так и над столбцами), называются эквивалентными. Эти матрицы имеют одинаковый ранг и порядок.
Если матрицы А и В эквивалентны, то записывают это так:
А~В
Для вычисления ранга матрицы можно пользоваться следующей теоремой:
если определитель порядка r матрицы А не равен нулю, а все определители порядка (r+1), включающие его в качестве минора, равны нулю, то ранг матрицы А равен r.
Пример 12. Найти ранг матриц:
a) ; б) .
Решение.
а) А - квадратная матрица, найдем ее определитель:
Так как минор третьего порядка не равен нулю, то rang А = r = 3 .
б) Выполним элементарные преобразования над строками матрицы В:
все элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Затем сложим последние две строки, Получим:
Очевидно, что все миноры третьего порядка будут равны нулю. Найдем минор второго порядка, отличный от нуля.
например,
Таким образом, rang В = 2.