- •Для экономистов
- •Часть I
- •Для экономистов
- •Часть I
- •Введение
- •2 Курс лекций
- •2.1 Матрицы
- •2.1.1 Общие сведения о матрицах
- •2.1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •2.2 Определители
- •2.2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •2.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5.1 Основные понятия
- •2.5.2 Методы решение систем
- •2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •2.6 Множество геометрических векторов
- •2.6.2 Линейные операции над векторами
- •2.7 Линейное (векторное) пространство
- •2.7.1 Определение линейного пространства
- •2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •2.8 Евклидово пространство
- •2.9 Векторное произведение векторов
- •2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.10 Смешанное произведение векторов
- •2.11 Основные задачи аналитической геометрии
- •2.12 Прямая на плоскости
- •2.13 Плоскость в пространстве
- •2.14 Прямая в пространстве
- •2.14.1 Различные виды уравнений прямой
- •2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
- •2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
- •2.15 Кривые второго порядка
- •3 Руководство к изучению тем курса
- •4 Вопросы и задания для самооценки:
- •5. Итоговый тест
- •6. Вопросы к экзамену
- •7. Конспект-схемы основных тем
- •2) Произведение матрицы а на действительное число
- •3) Произведением матрицы на матрицу
- •- Определитель первого порядка.
- •8. Приложение. Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитеческая геометрия с экономическими приложениями
- •Задания 21 – 40
- •Задания 41 – 60
- •Задания 61 – 80
- •Задания 81 – 100
- •Задания 101 – 120
- •Задания 121 – 140
- •Задания 141 – 160
- •Задания 161 – 172 Будут ли коллинеарными векторы и ?
- •Задания 181 – 200
- •Задания 201 – 220
- •Задания 221 – 240
- •Задания 241 – 260
- •9. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
- •Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- •Светлана георгиевна лукинова высшая математика
- •Часть I Линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
2) Произведение матрицы а на действительное число
С = А, cij= àij.
3) Произведением матрицы на матрицу
AB=C,
, где , .
В общем случае: АВ ВА.
Если АВ=ВА , то матрицы коммутативны.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА - А-1.
.
А - невырождена, если det A = 0
- обратная матрица
(Обратите внимание, что матрица из алгебраических дополнений транспонирована).
РАНГ МАТРИЦЫ
Ранг матрицы А – rang А; r(А); r.
КС-2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определитель (детерминант) – число, соответствующее квадратной матрице любого порядка и вычисленное по определенным правилам.
Обозначают: Δ; Δ(А); |A|; det A.
- Определитель первого порядка.
- определитель второго порядка
Минором Мij элемента аij матрицы А называются определитель, соответствующий матрице, полученной после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца в матрице А.
Аij=(-1)i+jMij - алгебраическое дополнение Аij элемента аij.
- определитель третьего порядка
- определитель п-го порядка
Свойства определителей
1. det A = det AТ.
2. .
3. Формула разложения определителя по любой строке (столбцу):
4.
5. .
6. .
7. .
8. если i s
9. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на число k.
Методы вычисления определителя третьего порядка:
Правило Саррюса: Правило треугольника
С о знаком «+»: ; Со знаком «-»: .
КС-3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
– матричная форма записи
основная матрица матрица -расширенная матрица СЛУ
матрица столбец столбец
системы переменных свободных членов
КС-4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
– коллинеарные векторы ,
сонаправленные противоположно направленные
– компланарные векторы
сумма векторов |
правило параллелограмма |
правило ломаной |
|
|
|
умножение на число |
|
|
|
|
|
произведения над векторами |
скалярное |
векторное |
смешанное |
определение |
– число |
– вектор 1) 2) 3) – правая тройка
|
– число |
координатная форма |
|
|
|
свойства |
1) 2)
3) |
1)
2) 3) |
1) – компланарны
2)
|
КС-5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
прямая на плоскости |
плоскость |
– нормальный вектор. – уравнение прямой, проходящей через точку, перпендикулярную вектору N.
– общее уравнение.
k = tg α – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
– уравнение прямой в отрезках.
– уравнение прямой, проходящей через две точки.
|
– нормальный вектор. – уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярную вектору N.
– общее уравнение
– уравнение плоскости в отрезках
уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
|
КС-6 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
– векторное уравнение
– направляющий вектор прямой
– параметрические уравнения
– каноническое уравнение
– уравнение через две точки
– общее уравнение, как линия пересечения двух плоскостей
КС 7. КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА
Название кривой |
Каноническое уравнение и чертёж |
|||||||
Эллипс |
, |
|||||||
|
|
|
||||||
Гипербола |
, |
, |
|
|||||
Ox – действительная ось
|
Oy – действительная ось
|
-- уравнение асимптот |
||||||
Парабола |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|