- •Для экономистов
- •Часть I
- •Для экономистов
- •Часть I
- •Введение
- •2 Курс лекций
- •2.1 Матрицы
- •2.1.1 Общие сведения о матрицах
- •2.1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •2.2 Определители
- •2.2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •2.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5.1 Основные понятия
- •2.5.2 Методы решение систем
- •2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •2.6 Множество геометрических векторов
- •2.6.2 Линейные операции над векторами
- •2.7 Линейное (векторное) пространство
- •2.7.1 Определение линейного пространства
- •2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •2.8 Евклидово пространство
- •2.9 Векторное произведение векторов
- •2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.10 Смешанное произведение векторов
- •2.11 Основные задачи аналитической геометрии
- •2.12 Прямая на плоскости
- •2.13 Плоскость в пространстве
- •2.14 Прямая в пространстве
- •2.14.1 Различные виды уравнений прямой
- •2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
- •2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
- •2.15 Кривые второго порядка
- •3 Руководство к изучению тем курса
- •4 Вопросы и задания для самооценки:
- •5. Итоговый тест
- •6. Вопросы к экзамену
- •7. Конспект-схемы основных тем
- •2) Произведение матрицы а на действительное число
- •3) Произведением матрицы на матрицу
- •- Определитель первого порядка.
- •8. Приложение. Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитеческая геометрия с экономическими приложениями
- •Задания 21 – 40
- •Задания 41 – 60
- •Задания 61 – 80
- •Задания 81 – 100
- •Задания 101 – 120
- •Задания 121 – 140
- •Задания 141 – 160
- •Задания 161 – 172 Будут ли коллинеарными векторы и ?
- •Задания 181 – 200
- •Задания 201 – 220
- •Задания 221 – 240
- •Задания 241 – 260
- •9. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
- •Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- •Светлана георгиевна лукинова высшая математика
- •Часть I Линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
2.14 Прямая в пространстве
2.14.1 Различные виды уравнений прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей:
Пусть даны вектор (т ,п , р)и точка М0(х0 , у0 ,z0). Напишем уравнение прямой l, проходящей через точку М0 параллельно вектору .
Возьмем на прямой l произвольную (текущую) точку М(х, у, z). Вектор коллинеарен вектору (m, n,p), следовательно:
так как , то или
Итак, уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве.
Вектор (m, n, р) называется направляющим вектором прямой в пространстве.
Запишем последнее уравнение в координатной форме; так как r (х, у, z); ro = (х0, у0, z0), то
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Если исключить параметр t в последних уравнениях, то получим каноническое уравнение прямой.
Пример 25. Найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей р1: 2x-y+z+3=0 и Р2: 3x+y-z+2=0
Решение
Проверим, что заданные плоскости не параллельны, то есть их нормальные векторы неколлинеарны.
Действительно, (2, -1, 1) и (3, 1, -1) - неколлинеарные векторы (их координаты не пропорциональны)
Прямая l, как линия пересечения р1 и Р2 будет перпендикулярна и , поэтому направляющий вектор прямой l равен:
Итак, (0,5,5) Из общего уравнения прямой
найдем любую точку, принадлежащую данной прямой Пусть z = 0, тогда, решая систему
находим х=-1; y= 1 Итак, точка М(-1, 1, 0) принадлежит прямой l. Каноническое уравнение прямой имеет вид
параметрические уравнения заданной прямой имеют вид
2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
Углом между двумя прямыми l1 и l2 называют любой из двух смежных углов, образованных прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным.
Один из двух смежных углов между прямыми l1 и 12 равен углу между направляющими векторами и , тогда
или
В частности, если то тогда m1m2+n1n2+p1p2=0, если то тогда:
2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
Рассмотрим две прямые l1 и l2 , возможны три различных случая расположения этих прямых
1) прямые пересекаются, следовательно, они лежат в одной плоскости Уравнения прямых
Векторы и , - компланарны, тогда их смешанное произведение · , где =(x2-x1; y2-y1; z2-z1)и расстояние между прямыми d=0.
2) Прямые параллельны, тогда
Расстояние между прямыми d можно найти, используя определение векторного произведения.
Модуль векторного произведения - это площадь параллелограмма, тогда высота d параллелограмма равна
3) Прямые скрещивающиеся, они не лежат в одной плоскости, тогда искомое расстояние d определяется длиной общего перпендикуляра к этим прямым, то есть это расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через прямые l1 и l2.
Очевидно, что нормальный вектор к плоскостям есть . Тогда скалярное произведение:
где в числителе стоит модуль смешанного произведения, или объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , в знаменателе - модуль векторного произведения, то есть площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Расстояние d совпадает с высотой данного параллелепипеда.