- •Для экономистов
- •Часть I
- •Для экономистов
- •Часть I
- •Введение
- •2 Курс лекций
- •2.1 Матрицы
- •2.1.1 Общие сведения о матрицах
- •2.1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •2.2 Определители
- •2.2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •2.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5.1 Основные понятия
- •2.5.2 Методы решение систем
- •2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •2.6 Множество геометрических векторов
- •2.6.2 Линейные операции над векторами
- •2.7 Линейное (векторное) пространство
- •2.7.1 Определение линейного пространства
- •2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •2.8 Евклидово пространство
- •2.9 Векторное произведение векторов
- •2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.10 Смешанное произведение векторов
- •2.11 Основные задачи аналитической геометрии
- •2.12 Прямая на плоскости
- •2.13 Плоскость в пространстве
- •2.14 Прямая в пространстве
- •2.14.1 Различные виды уравнений прямой
- •2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
- •2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
- •2.15 Кривые второго порядка
- •3 Руководство к изучению тем курса
- •4 Вопросы и задания для самооценки:
- •5. Итоговый тест
- •6. Вопросы к экзамену
- •7. Конспект-схемы основных тем
- •2) Произведение матрицы а на действительное число
- •3) Произведением матрицы на матрицу
- •- Определитель первого порядка.
- •8. Приложение. Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитеческая геометрия с экономическими приложениями
- •Задания 21 – 40
- •Задания 41 – 60
- •Задания 61 – 80
- •Задания 81 – 100
- •Задания 101 – 120
- •Задания 121 – 140
- •Задания 141 – 160
- •Задания 161 – 172 Будут ли коллинеарными векторы и ?
- •Задания 181 – 200
- •Задания 201 – 220
- •Задания 221 – 240
- •Задания 241 – 260
- •9. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
- •Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- •Светлана георгиевна лукинова высшая математика
- •Часть I Линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
Всякий элемент n-мерного линейного пространства можно представить, притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.
Доказательство. Пусть ē1, ē2, …, ēn - базис линейного пространства L. Рассмотрим любой вектор ā L. Тогда система векторов ē1,…, ēn, ā - линейно зависимая, то есть λ1ē1+…+ λnēn+ λn+1 ā=0 , причем λn+1≠0.
Если λn+1=0, тогда и какое-то из λi≠0
Это означает: ē1, ē2, …, ēn - линейно зависимы, что противоречит условию: ē1, ē2, …, ēn - базис, то есть линейно независимая система векторов.
Итак, λn+1≠0, тогда , то есть
, где .
Таким образом, показали, что любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса.
Покажем, что такое разложение единственно. Предположим, что наряду с полученным разложением ā по базису , существует другое .
Вычитая, находим .
Так как векторы ē1, ē2, …, ēn - линейно независимы, то последнее равенство имеет место только тогда, когда .
Таким образом, μi=γi для , а следовательно, разложение вектора по базису единственно.
Всякий базис линейного пространства, векторы которого берутся в определенной последовательности, называют системой координат, а числа - коэффициенты в разложении любого вектора ā по базису - называют координатами вектора ā.
ā=x1ē1+…+xnēn,
где х1,…., хn - координаты вектора ā.
Последнее выражение называют формулой разложения вектора по базису.
В общем случае при изменении базиса, координаты вектора изменяются.
Вектор можно задавать с помощью координат ā=(x1,x2,…,xn).
Рассмотрим два вектора:
ā=(x1,x2,…,xn) и =(γ1 , γ2 , …, γn).
Используя определение линейного пространства, покажите что:
1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:
ā+ = (x1+γ1 , x2+γ2 , …, xn+γn);
2) при умножении вектора на скаляр λ, каждая координата умножается на это число:
λ ā=(λx1 , λx2 , …, λxn).
2.8 Евклидово пространство
Для n-мерного линейного пространства введем понятие длины вектора и угла между векторами. Это можно сделать, если определить операцию произведения над векторами.
В линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие число такое, что:
1о.
2о. λ - скаляр;
3о.
Линейное пространство L называется евклидовым пространствам, если в нем определено скалярное произведение и для любого вектора , его скалярный квадрат будет положительным.
4°. при то ā=0
Обозначают n-мерное евклидово пространство Еn.
Таким образом, линейное пространство будет евклидовым, если введенное там (как угодно) скалярное произведение векторов будет удовлетворять четырем аксиомам 1°, 2°, 3°, 4°.
Пусть векторы заданы своими координатами
ā=(x1,x2,…,xn) и =(γ1 , γ2 , …, γn).
Легко проверить (проверьте!), что всем аксиомам будет удовлетворить скалярное произведение, определенное как сумма произведений соответствующих координат перемножаемых векторов
или .
Нормой (длиной) вектора '
называется число, равное
или
в координатной форме
Угол между векторами определяется по формуле
Покажем, что это определение корректно, то есть выполняется условие
Пусть λ - любое действительное число, .
Согласно аксиоме 4°, имеем используя аксиомы 1°-3°, последнее неравенство можно записать в виде
Это квадратное неравенство относительно λ справедливо, если его дискриминант неположительный, то есть,
или
Итак, доказали, что для любых справедливо неравенство
оно называется неравенствам Коши-Буняковского. Из неравенства Коши-Буняковского следует:
или
итак, действительно
Как уже отмечалось, в n-мерном линейном пространстве базисом является любая система из n линейно независимых векторов. Часто выбирают базис из взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов.
Базис ē1, ē2, …, ēn в пространстве Еn называется ортонормированным, если имеет место:
В частности, в пространстве Е2 ортонормированным базисом является система двух векторов, их обозначают i, j:
в пространстве E3 ортонормированный базис обозначают i, j, k:
Пример 18. Дан треугольник АВС. где А(1, 2); В(0, 3); С(-2, -1). Найти
периметр его и угол А.
Решение
Обозначим векторы . Используя скалярное произведение, найдем . Координаты вектора ā находим, вычитая из координат его конца - точки С, соответствующие координаты начала его точки А.
Аналогично,
Найдем
Таким образом,
Чтобы найти периметр ΔАВС, надо найти длины всех его сторон:
Итак, периметр ΔАВС равен