2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим неоднородную систему т уравнений с n неизвестными

АХ=В, где

Выпишем расширенную матрицу системы:

,

с помощью эквивалентных

преобразований над строками приведем эту матрицу к треугольному или трапециидальному виду. Решая систему уравнений, соответствующую полученной после преобразований матрице, находим единственное (пример 15) или общее (пример 16) решение данной системы.

Пример 15. Исследовать на совместность и решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив эквивалентные преобразования:

~ ~

~ ~

~ .

Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна

Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна, причем имеет единственное решение. Запишем систему, соответствующую последней матрице:

Находим значения неизвестных:

Итак, решение системы:

Пример 16. Исследовать на совместность и найти общее решение системы

.

Решение.

Найдем ранг расширенной матрицы системы:

для этого из первой строки вычтем третью,

получим:

~

Очевидно, что r(А) = r( )=2

Следовательно, система совместна. Здесь r=2, n=3, так как r<n, то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем общее решение системы. Запишем систему, полученную после выполнения эквивалентных преобразований над расширенной матрицей системы:

или ,

где x₁, x₂ - базисные переменные,

x₃ - свободная переменная.

Из первого уравнения найдем:

.

Итак, общее решение имеет вид:

2.6 Множество геометрических векторов

2.6.1 Обычно в естественных науках рассматривают величины двух видов:

скалярные, они определены числовым значением - площадь, объем, температура, масса.

и векторные, которые определяются не только численным значением, но и направлением - это сила, скорость, ускорение и другие.

Вектором называется отрезок, имеющий направление.

Обозначают .

и ли , где А - начало, В - конец вектора. В

А

Длиной вектора называют расстояние между А и В, обозначают

или .

Нулевым вектором называют вектор, у которого начало и конец совпали .

Коллинеарными называют два вектора, если существует прямая, которой они параллельны, обозначают

К омпланарными называют три вектора, которые лежат в одной плоскости (параллельны одной плоскости).

Два вектора и называются равными, если;

1) длины их равны, | |=| |;

2) они коллинеарны, || ,

3) сонаправлены (направлены в одну сторону).

2.6.2 Линейные операции над векторами

С уммой векторов , ,… , называют вектор , замыкающий ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего.

В частности, суммой двух векторов и , имеющих общее начало, является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, начало которой совпадает с началом векторов ā и .

^{= +}

Произведением вектора ā на число λ называется вектор :

1) длина которого равна |b| = |λ| |a|;

2) коллинеарный вектору ā, ||ā;

3) если λ > 0, то ā и направлены в одну сторону;

4) если λ < 0, то ā и направлены в противоположные стороны.

Имеют место следующие свойства линейных операций над векторами (проверить самостоятельно):

1. ā+ = + ā

2. λ(ā+ )= λ ā+ λ

3. (λ+μ) ā= λ ā+ μ ā

где ā и - любые векторы; λ , μ - любые числа.