- •Для экономистов
- •Часть I
- •Для экономистов
- •Часть I
- •Введение
- •2 Курс лекций
- •2.1 Матрицы
- •2.1.1 Общие сведения о матрицах
- •2.1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •2.2 Определители
- •2.2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •2.5 Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.5.1 Основные понятия
- •2.5.2 Методы решение систем
- •2.5.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •2.6 Множество геометрических векторов
- •2.6.2 Линейные операции над векторами
- •2.7 Линейное (векторное) пространство
- •2.7.1 Определение линейного пространства
- •2.7.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •2.7.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •2.8 Евклидово пространство
- •2.9 Векторное произведение векторов
- •2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •2.10 Смешанное произведение векторов
- •2.11 Основные задачи аналитической геометрии
- •2.12 Прямая на плоскости
- •2.13 Плоскость в пространстве
- •2.14 Прямая в пространстве
- •2.14.1 Различные виды уравнений прямой
- •2.14.2 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •2.14.3 Расстояние между прямыми в пространстве
- •2.14.4 Угол между прямой и плоскостью
- •2.15 Кривые второго порядка
- •3 Руководство к изучению тем курса
- •4 Вопросы и задания для самооценки:
- •5. Итоговый тест
- •6. Вопросы к экзамену
- •7. Конспект-схемы основных тем
- •2) Произведение матрицы а на действительное число
- •3) Произведением матрицы на матрицу
- •- Определитель первого порядка.
- •8. Приложение. Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитеческая геометрия с экономическими приложениями
- •Задания 21 – 40
- •Задания 41 – 60
- •Задания 61 – 80
- •Задания 81 – 100
- •Задания 101 – 120
- •Задания 121 – 140
- •Задания 141 – 160
- •Задания 161 – 172 Будут ли коллинеарными векторы и ?
- •Задания 181 – 200
- •Задания 201 – 220
- •Задания 221 – 240
- •Задания 241 – 260
- •9. Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
- •Беклемишев д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – м.:Наука, 1979.
- •Светлана георгиевна лукинова высшая математика
- •Часть I Линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
2.9 Векторное произведение векторов
2.9.1 Рассмотрим трехмерное евклидово пространство Е3;
(i, j, k) - ортонормированный базис в этом пространстве.
Векторным произведением векторов называют такой вектор , что
1)
то есть длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах;
2) вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы ;
3) векторы образуют правую - тройку, то есть вектор направлен так, что, если смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от совершается против часовой стрелки.
Векторное произведение обозначается или .
Свойства векторного произведения:
1.
2. , λ - скаляр;
3.
Пример 19. Найти векторное произведение ортов (базисных векторов) i, j, k.
Решение
, так как
аналогично ;
Согласно определению:
2.9.2 Векторное произведение в координатной форме.
Пусть известны координаты векторов , то есть
Используя свойства векторного произведения, найдем:
Выражения в скобках можно записать с помощью определителей второго порядка (проверьте), то есть:
правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:
Эта формула является удобной записью векторного произведения в координатах.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна модулю векторного произведения:
в частности, площадь треугольника
Одним из физических приложений векторного произведения является нахождение момента силы, возникающего при вращении твердого тела, закрепленного в некоторой точке А, под действием силы , приложенной в точке В:
Пример 20. Найти площадь треугольника АВС, где А (-2, 1, 0);
В (3,4, 8); С (-1,3,6).
Решение
Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна
Найдем координаты векторов:
=(-1+2; 3-1; б-0)=(1,2,6)
=(3-(-2); 4-1; 8-0)=(5, 3, 8)
их векторное произведение равно:
Итак, или
2.10 Смешанное произведение векторов
При последовательном умножении трех векторов возможны следующие случаи:
1) где λ - скаляр,
2) - двойное векторное произведение, в результате получим вектор;
3) - векторно-скалярное произведение, в результате получим число.
Смешанным произведением трех векторов называется их векторно-скалярное произведение, обозначают:
Найдем выражение смешанного произведения через координаты.
Пусть тогда векторное произведение в координатах записывается в виде:
тогда скалярное произведение в координатах имеет вид:
Правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка. Итак, смешанное произведение в координатах имеет следующий вид:
Свойства смешанного произведения векторов (проверьте самостоятельно):
1)
2)
3) Пусть - некомпланарные векторы.
Построим на этих векторах параллелепипед.
Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Действительно, то есть , где SABCD - площадь основания.
Скалярное произведение Очевидно, что , где H высота параллелепипеда.
Итак,
или, так как
В частности, объем пирамиды, построенной на векторах равен
4) Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
- компланарные
Пример 21. Показать, что заданные четыре точки лежат в одной
плоскости: А(2, 0, 1); В(-3, 1, 0); С(0,1, 3); D(-4, 3, 7).
Решение.
Заданные точки лежат в одной плоскости, если три вектора также лежат в этой плоскости, то есть, если эти векторы компланарны.
Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.
Найдем координаты векторов:
тогда смешанное произведение равно
то есть заданные точки лежат в одной плоскости.
Пример 22. Найти объем пирамиды ABCD, где А(2, 0, 1); В(3, -1, 4);
C(0,-5,1); D(0,0,4).
Решение
Объем пирамиды равен
Найдем координаты векторов
тогда смешанное произведение:
Следовательно, объем пирамиды