Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение записывается таким образом, чтобы выходная величина и все ее производные находились бы в левой части уравнения, а входные воздействия (управляющее воздействие или возмущение) – в правой части. При этом нулевая производная выходной величины (сама величина) должна входить в уравнение с коэффициентом, равным единице. В этом случае исходное дифференциальное уравнение

запишется в виде (обе части уравнения поделены на коэффициент )

где

T_i – имеют размерность времени в соответствующей степени и называются постоянными времени, k_i – могут иметь различную размерность и называются коэффициентом преобразования (передачи, усиления).

Дифференциальное уравнение часто записывается в операторном виде с использованием алгебраизированного оператора дифференцирования

.

Формально из уравнения в операторном виде можно получить выражение для выходной величины (при условном рассмотрении оператора дифференцирования p в качестве алгебраической величины)

или

,

где W(p) – оператор системы (символическая запись дифференциального уравнения системы). В дальнейшем мы уточним значение полученного выражения.

Преобразование Лапласа

В теории автоматического управления широко используются методы операционного исчисления. Суть операционного исчисления заключается в том, что каждой рассматриваемой функции f(t), называемой оригиналом, ставится в соответствие по определенным законам некоторая другая функция F(p), называемая изображением. При этом математические операции над оригиналами заменяются математическими операциями над изображениями.

Законы соответствия между оригиналами и изображениями выбраны таким образом, чтобы математические операции над оригиналами заменялись бы более простыми математическими операциями над изображениями. При использовании преобразования Лапласа операции дифференцирования и интегрирования оригиналов сводятся к операциям умножения и деления изображений на независимую переменную.

В результате применения преобразования Лапласа к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению ему в области изображений будет соответствовать линейное алгебраическое уравнение. Решение уравнения для изображений будет существенно проще, что упрощает исследование системы автоматического регулирования.

В преобразовании Лапласа устанавливается интегральная связь между изображением и оригиналом:

где  произвольная комплексная величина, являющаяся аргументом для изображающей функции.

Оригиналом f(t) может быть функция действительного переменного, если она обладает следующими свойствами:

1. f(t) определена и дифференцируема на всей числовой прямой;

2. f(t)=0 при t<0;

3. существуют такие положительные величины M>0 и S₀, что

при .

Для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системах автоматического управления, перечисленные требования выполняются.

В преобразовании Лапласа оригинал обозначается строчной буквой, а изображение  соответствующей ей прописной буквой. Применяется одно из следующих обозначений преобразования Лапласа:

, или .

Пример. Найдем изображения Лапласа для некоторых функций. Пусть f(t)=A=const, тогда

Другая функция f(t)=t

Аналогично вычисляются изображения других функций. Для наиболее распространенных функций их лапласовы изображения приводятся в справочных пособиях по математике и теории автоматического управления.