- •А.В. Федотов теория автоматического управления
- •Список сокращений
- •Основы теории автоматического управления Введение
- •Примеры систем автоматического управления Классический регулятор Уатта для паровой машины
- •Система регулирования скорости вращения двигателей
- •Автоматизированный электропривод
- •Система терморегулирования
- •Следящая система автоматического управления
- •Система автоматического регулирования уровня
- •Обобщённая структура автоматической системы
- •Принципы автоматического управления
- •Математическая модель автоматической системы
- •Пространство состояний системы автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Структурный метод описания сау
- •Обыкновенные линейные системы автоматического управления Понятие обыкновенной линейной системы
- •Линеаризация дифференциального уравнения системы
- •Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Пример исследования функционального элемента
- •Передаточная функция
- •Типовые воздействия
- •Гармоническая функция.
- •Временные характеристики системы автоматического управления
- •Частотная передаточная функция системы автоматического управления
- •Частотные характеристики системы автоматического управления
- •Типовые звенья
- •Безынерционное (усилительное) звено.
- •Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).
- •Колебательное звено.
- •Интегрирующее звено.
- •5. Дифференцирующее звено.
- •Неустойчивые звенья
- •Соединения структурных звеньев
- •Преобразования структурных схем
- •Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления
- •Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
- •Построение частотных характеристик системы
- •Устойчивость систем автоматического управления Понятие устойчивости
- •Условия устойчивости системы автоматического управления
- •Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы
- •Критерии устойчивости системы Общие сведения
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Применение критерия к логарифмическим характеристикам
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Построение области устойчивости системы методом d-разбиения
- •Структурная устойчивость систем
- •Качество системы автоматического управления Показатели качества
- •Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы
- •Вынужденная ошибка системы
- •Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения
- •Решение уравнения системы операционными методами
- •Численное решение дифференциального уравнения
- •Моделирование переходной характеристики
- •Косвенные методы анализа качества Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы
- •Интегральные оценки качества процесса
- •Оценка качества по частотным характеристикам Основы метода
- •Оценка качества системы по частотной характеристике
- •Оценка колебательности системы
- •Построение вещественной частотной характеристики
- •Оценка качества сау по логарифмическим характеристикам
- •Синтез системы автоматического управления Постановка задачи синтеза системы
- •Параметрический синтез системы
- •Структурный синтез системы Способы коррекции системы
- •Построение желаемой логарифмической характеристики системы
- •Синтез последовательного корректирующего звена
- •Синтез параллельного корректирующего звена
- •Другие методы синтеза систем автоматического управления
- •Реализация систем автоматического управления Промышленные регуляторы
- •Особенности реализации промышленных регуляторов
- •Настройка промышленных регуляторов
- •Управление по возмущению
- •Комбинированное управление
- •Многосвязные системы регулирования
- •Обеспечение автономности управления
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Содержание
Передаточная функция
Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением
Умножим обе части уравнения на е – pt и выполним интегрирование в пределах от 0 до :
В результате этих преобразований левая и правая части уравнения представляют собой выражения для преобразования Лапласа. Осуществим преобразование Лапласа, используя его свойства:
.
Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) = ... = 0, вычислим изображения производных и получим
.
Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и его можно решить относительно изображения выходной величины:
.
Передаточной функцией элемента (или системы) автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин
При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символа р в соответствующей степени.
При р = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Обычно для передаточной функции m < n.
При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом:
и .
Корни числителя передаточной функции называются нулями передаточной функции, корни знаменателя передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеет m нулей и n полюсов. Нули и полюса могут быть комплексными.
Типовые воздействия
Процессы в системе автоматического управления возникают под влиянием внешних воздействий на систему. Внешними воздействиями могут быть управляющие воздействия, или возмущения. В реальных условиях внешние воздействия могут иметь произвольный характер и выражаться произвольными функциями времени как детерминированными, так и статистическими. Поскольку в этом случае задача исследования становится неопределенной, то при анализе систем автоматического управления используют ряд типовых воздействий, которые позволяют наиболее полно выявить динамические свойства исследуемой системы и в то же время наиболее близки к реальным внешним воздействиям.
В теории автоматического управления используются следующие типовые воздействия при изучении переходных процессов в системе.
Ступенчатая функция (скачкообразное воздействие).
График ступенчатой функции приведен на рис. 31. В нулевой момент времени воздействие скачком изменяется от нуля до некоторой постоянной величины. Аналитическое выражение для ступенчатой функции
.
П ри значении функции, равном единице (рис. 31), функция называется единичной ступенчатой функцией. Единичную функцию обозначают
x(t) = 1(t) = [1].
Если амплитуда ступенчатой функции отличается от единицы и равна некоторой величине А, то такая функция является неединичной и обозначается
x(t) = A[1].
Изображения Лапласа для ступенчатой функции
и .
Единичная импульсная функция, или дельта-функция.
Эта функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции .
Д ельта-функция равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности (рис. 32).
Основное свойство дельта-функции
,
т.е. она имеет единичную площадь.
Размерность единичной -функции [сек–1]. -функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса при стремлении его длительности к нулю, а амплитуды к бесконечности. С помощью импульсной функции удобно моделировать ударные воздействия на систему (кратковременные воздействия – удары).