- •А.В. Федотов теория автоматического управления
- •Список сокращений
- •Основы теории автоматического управления Введение
- •Примеры систем автоматического управления Классический регулятор Уатта для паровой машины
- •Система регулирования скорости вращения двигателей
- •Автоматизированный электропривод
- •Система терморегулирования
- •Следящая система автоматического управления
- •Система автоматического регулирования уровня
- •Обобщённая структура автоматической системы
- •Принципы автоматического управления
- •Математическая модель автоматической системы
- •Пространство состояний системы автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Структурный метод описания сау
- •Обыкновенные линейные системы автоматического управления Понятие обыкновенной линейной системы
- •Линеаризация дифференциального уравнения системы
- •Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Пример исследования функционального элемента
- •Передаточная функция
- •Типовые воздействия
- •Гармоническая функция.
- •Временные характеристики системы автоматического управления
- •Частотная передаточная функция системы автоматического управления
- •Частотные характеристики системы автоматического управления
- •Типовые звенья
- •Безынерционное (усилительное) звено.
- •Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).
- •Колебательное звено.
- •Интегрирующее звено.
- •5. Дифференцирующее звено.
- •Неустойчивые звенья
- •Соединения структурных звеньев
- •Преобразования структурных схем
- •Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления
- •Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
- •Построение частотных характеристик системы
- •Устойчивость систем автоматического управления Понятие устойчивости
- •Условия устойчивости системы автоматического управления
- •Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы
- •Критерии устойчивости системы Общие сведения
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Применение критерия к логарифмическим характеристикам
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Построение области устойчивости системы методом d-разбиения
- •Структурная устойчивость систем
- •Качество системы автоматического управления Показатели качества
- •Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы
- •Вынужденная ошибка системы
- •Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения
- •Решение уравнения системы операционными методами
- •Численное решение дифференциального уравнения
- •Моделирование переходной характеристики
- •Косвенные методы анализа качества Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы
- •Интегральные оценки качества процесса
- •Оценка качества по частотным характеристикам Основы метода
- •Оценка качества системы по частотной характеристике
- •Оценка колебательности системы
- •Построение вещественной частотной характеристики
- •Оценка качества сау по логарифмическим характеристикам
- •Синтез системы автоматического управления Постановка задачи синтеза системы
- •Параметрический синтез системы
- •Структурный синтез системы Способы коррекции системы
- •Построение желаемой логарифмической характеристики системы
- •Синтез последовательного корректирующего звена
- •Синтез параллельного корректирующего звена
- •Другие методы синтеза систем автоматического управления
- •Реализация систем автоматического управления Промышленные регуляторы
- •Особенности реализации промышленных регуляторов
- •Настройка промышленных регуляторов
- •Управление по возмущению
- •Комбинированное управление
- •Многосвязные системы регулирования
- •Обеспечение автономности управления
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Содержание
Устойчивость систем автоматического управления Понятие устойчивости
Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего это состояние. Свойство устойчивости системы автоматического управления принято иллюстрировать состояниями равновесия шара, находящегося на разных поверхностях (рис. 74).
На рис. 74а система устойчива и шар возвращается в начальное положение после исчезновения силы, сместившей его из этого положения, на рис. 74б система неустойчива, на рис. 74в изображено безразличное положение равновесия шара.
При приложении к САУ внешних воздействий (управляющих воздействий или возмущений) в системе возникает переходный процесс у(t), который складывается из двух составляющих: свободные движения системы yc(t), определяемые начальными условиями и свойствами самой системы, и вынужденные движения yв(t), определяемые внешним воздействием и свойствами системы:
y(t)=yc(t)+yв(t) .
Система будет устойчива, если её свободные движения затухают со временем и в системе устанавливается вынужденный процесс
Для неустойчивых систем это условие не выполняется, и практическое их использование является невозможным.
Таким образом, свойство устойчивости САУ является весьма важным свойством, совершенно необходимым для обеспечения работоспособности системы. Поэтому исследование устойчивости САУ является важным элементом теории автоматического управления.
П оказателем устойчивости или неустойчивости системы служит вид переходной характеристики системы. Для устойчивой системы переходная характеристика сходится (т.е. стремится к установившемуся значению выходной величины (рис. 75а)). Свободный процесс в устойчивой системе затухает (1 колебательный процесс, 2 – апериодический процесс).
Для неустойчивой системы переходная характеристика расходится (рис. 75б). При этом в системе не устанавливается постоянное значение управляемой величины в соответствии с задающим воздействием, а изменение этой величины будет происходить до некоторого предельного состояния системы, определяемого её свойствами. Неустойчивая система не обеспечивает адекватной реакции на задающее воздействие, поэтому такая система неработоспособна. В общем случае для получения переходной характеристики системы необходимо решить дифференциальное уравнение системы. По графику переходного процесса можно сделать заключение об устойчивости системы и об особенностях переходного процесса.
Условия устойчивости системы автоматического управления
Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
Для устойчивости системы необходимо, чтобы свободный процесс в ней был бы сходящимся. Свободные движения системы описываются левой частью исходного дифференциального уравнения и, следовательно, уравнение свободного процесса в системе
.
Характеристическое уравнение замкнутой системы при этом запишется как
.
Характеристическое уравнение системы получается приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы.
Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения, имеющего порядок n:
,
где Ai – постоянные интегрирования, pi – корни характеристического уравнения, n – число корней.
Корни характеристического уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными (попарно сопряжёнными). Каждый комплексный корень порождает в решении уравнения слагаемое вида
,
где – начальная фаза, Аi – начальная амплитуда.
При решении характеристического уравнения системы возможны различные случаи, в зависимости от соотношения его коэффициентов (т.е. в зависимости от параметров системы).
1. Корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае для всех слагаемых
и, следовательно, свободный процесс затухает. Система устойчива, а графики переходного процесса показаны на рис. 76 (для каждого слагаемого). На рис. 76а показан затухающий апериодический процесс, а на рис. 76б затухающий колебательный процесс (пунктиром показана огибающая колебательного процесса). Апериодический процесс будет наблюдаться при чисто вещественном корне характеристического уравнения, колебательный – при комплексном корне.
2. Среди корней характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью. В этом случае в общем решении дифференциального уравнения для свободного процесса появится слагаемое, стремящееся к бесконечности с увеличением времени:
и переходный процесс будет расходящимся (рис. 77). Графики показаны для одного слагаемого общего решения. Система в этом случае неустойчива.
3. Характеристическое уравнение имеет хотя бы одну пару комплексных корней с нулевой вещественной частью. В решении дифференциального уравнения появляется гармоническая составляющая
,
порождающая незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса (рис. 78). При переходный процесс системы будет носить характер незатухающих колебаний. Принято считать, что в этом случае система находится на границе устойчивости. Этот случай представляет чисто теоретический интерес и в реальных системах не наблюдается.
Р ассмотренные случаи позволяют сформулировать математическое условие устойчивости для системы автоматического управления. Система автоматического управления будет устойчива, если все вещественные корни характеристического уравнения системы отрицательны, а все комплексные корни имеют отрицательные вещественные части.
Е
Рис. 79
Поскольку корни характеристического уравнения определяются величиной и знаком коэффициентов дифференциального уравнения, то изменение коэффициентов, вследствие изменения параметров системы, может привести к нарушению условия устойчивости. Для исследования устойчивости системы автоматического управления необходимо проверить выполнение условия устойчивости для дифференциального уравнения системы. Система, для которой условие устойчивости выполняется, будет устойчивой (т.е. работоспособной).