Применение критерия к логарифмическим характеристикам

При использовании критерия Найквиста можно рассматривать не амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а ее логарифмические частотные характеристики. Пусть разомкнутая система устойчива, тогда устойчивость замкнутой системы по Найквисту определится положением годографа W(j) по отношению к контрольной точке (рис. 86).

Если годограф W(j) не охватывает контрольную точку (кривая 1), то замкнутая система устойчива, если охватывает (кривая 2), – система неустойчива. В точке пересечения АФЧХ с отрицательным направлением вещественной оси (частота ₁) угол фазового сдвига . Для устойчивой системы частота среза  _с (при этой частоте АФЧХ пересекает единичную окружность и при этом , а ) меньше частоты ₁, при которой фазовый угол равен -. Для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное: .

Таким образом, для устойчивой системы частота среза меньше частоты для фазового угла в -, а для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное. Это условие легко проверяется с использованием логарифмических частотных характеристик системы.

На рис. 87 показаны логарифмические частотные характеристики для устойчивой (1) и неустойчивой (2) систем: L() – логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ), () – логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ), _с – частота среза системы, ₁ – частота фазового угла - (или -180).

Для устойчивой системы и частота , при которой угол фазового сдвига , соответствует области отрицательных ординат логарифмической амплитудной характеристики L(). Для неустойчивой системы (логарифмическая амплитудная характеристика 2) и частота ₁ соответствует области положительных значений ординат ЛАХ (т.е. на этой частоте коэффициент усиления системы больше единицы).

Следовательно, система будет устойчива, если точка пересечения ЛАХ с осью частот лежит левее точки пересечения ЛФХ с прямой, соответствующей фазовому сдвигу .

Д ля устойчивой системы величина угла (рис. 87) характеризует запас устойчивости системы по фазе, ордината ЛАХ  запас устойчивости системы по амплитуде.

В том случае, когда АФЧХ системы имеет вид ("клювообразный" вид), показанный на рис. 88а, ЛФХ будет пересекать границу несколько раз (рис. 88б). В этом случае для устойчивости системы необходимо, чтобы число пересечений ЛФХ границы , лежащих левее частоты среза ,было бы четным. На рис. 88б левее частоты среза имеются два пересечения на частотах ₁ и ₂, следовательно, система устойчива.

Логарифмический критерий устойчивости обладает большой простотой и наглядностью, что обуславливает его распространенность при исследовании устойчивости системы. Если использовать асимптотические логарифмические частотные характеристики системы, то простота применения критерия ещё более очевидна.

Критерий устойчивости Михайлова

Для применения критерия Михайлова необходимо иметь характеристический полином замкнутой системы. Если передаточная функция замкнутой системы , то характеристический полином

.

Характеристический полином преобразуется в характеристический комплекс подстановкой :

.

Критерий Михайлова формируется следующим образом: замкнутая система будет устойчива, если полное приращение аргумента характеристического комплекса при изменении частоты от 0 до равно , где n степень характеристического полинома .

Для проверки выполнения требований критерия строится годограф характеристического комплекса на комплексной плоскости. Этот годограф называют также кривой Михайлова. При выполнении требований критерия Михайлова кривая Михайлова будет соответствовать следующим требованиям:

• кривая имеет плавную спиралевидную форму,

• последовательно проходит через квадранты комплексной плоскости,

• у ходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени n характеристического полинома.

Кривая Михайлова строится по точкам для разных частот . Вид кривых Михайлова для устойчивых систем порядков 2, 3 и 5 показан на рис. 89а. Любое нарушение требований к виду кривой Михайлова для устойчивой системы говорит о неустойчивости системы. Пример кривой Михайлова для неустойчивой системы третьего порядка показан на рис. 89б. В том случае кривая перескакивает из первого квадранта в четвёртый и нарушается последовательность прохождения кривой квадрантов комплексной плоскости.

Условием нахождения системы на границе устойчивости по Михайлову является равенство нулю характеристического комплекса

. Это условие можно записать в виде двух условий: и . В таком виде условие граничной устойчивости по Михайлову часто используется при анализе систем автоматического управления.

Д ля систем, находящихся на границе устойчивости, кривая Михайлова будет проходить через начало координат. Примеры кривых Михайлова для систем, находящихся на границе устойчивости, показаны на рис. 90. Кривая 1, проходящая через начало координат, соответствует колебательной границе устойчивости, а кривая 2, начинающаяся в начале координат,  апериодической границе устойчивости системы.

Применение критерия Михайлова требует специальных построений годографа характеристического комплекса системы, который для других исследований системы не используется. В этом отношении критерий Найквиста проще, поскольку использует АФЧХ разомкнутой системы, которая может быть использована и в других исследованиях. Однако условие граничной устойчивости системы по Михайлову применяется, например, при исследовании области устойчивости системы автоматического управления.