- •А.В. Федотов теория автоматического управления
- •Список сокращений
- •Основы теории автоматического управления Введение
- •Примеры систем автоматического управления Классический регулятор Уатта для паровой машины
- •Система регулирования скорости вращения двигателей
- •Автоматизированный электропривод
- •Система терморегулирования
- •Следящая система автоматического управления
- •Система автоматического регулирования уровня
- •Обобщённая структура автоматической системы
- •Принципы автоматического управления
- •Математическая модель автоматической системы
- •Пространство состояний системы автоматического управления
- •Классификация систем автоматического управления
- •Структурный метод описания сау
- •Обыкновенные линейные системы автоматического управления Понятие обыкновенной линейной системы
- •Линеаризация дифференциального уравнения системы
- •Форма записи линеаризованных дифференциальных уравнений
- •Преобразование Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •Пример исследования функционального элемента
- •Передаточная функция
- •Типовые воздействия
- •Гармоническая функция.
- •Временные характеристики системы автоматического управления
- •Частотная передаточная функция системы автоматического управления
- •Частотные характеристики системы автоматического управления
- •Типовые звенья
- •Безынерционное (усилительное) звено.
- •Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).
- •Колебательное звено.
- •Интегрирующее звено.
- •5. Дифференцирующее звено.
- •Неустойчивые звенья
- •Соединения структурных звеньев
- •Преобразования структурных схем
- •Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления
- •Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
- •Построение частотных характеристик системы
- •Устойчивость систем автоматического управления Понятие устойчивости
- •Условия устойчивости системы автоматического управления
- •Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы
- •Критерии устойчивости системы Общие сведения
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Применение критерия к логарифмическим характеристикам
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Построение области устойчивости системы методом d-разбиения
- •Структурная устойчивость систем
- •Качество системы автоматического управления Показатели качества
- •Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы
- •Вынужденная ошибка системы
- •Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения
- •Решение уравнения системы операционными методами
- •Численное решение дифференциального уравнения
- •Моделирование переходной характеристики
- •Косвенные методы анализа качества Оценка качества по распределению корней характеристического полинома системы
- •Интегральные оценки качества процесса
- •Оценка качества по частотным характеристикам Основы метода
- •Оценка качества системы по частотной характеристике
- •Оценка колебательности системы
- •Построение вещественной частотной характеристики
- •Оценка качества сау по логарифмическим характеристикам
- •Синтез системы автоматического управления Постановка задачи синтеза системы
- •Параметрический синтез системы
- •Структурный синтез системы Способы коррекции системы
- •Построение желаемой логарифмической характеристики системы
- •Синтез последовательного корректирующего звена
- •Синтез параллельного корректирующего звена
- •Другие методы синтеза систем автоматического управления
- •Реализация систем автоматического управления Промышленные регуляторы
- •Особенности реализации промышленных регуляторов
- •Настройка промышленных регуляторов
- •Управление по возмущению
- •Комбинированное управление
- •Многосвязные системы регулирования
- •Обеспечение автономности управления
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Содержание
Частотная передаточная функция системы автоматического управления
Ч астотные характеристики системы автоматического управления определяются при подаче на вход системы гармонического воздействия
,
где (формула Эйлера).
При подаче такого сигнала на вход и после затухания переходных процессов на выходе установятся также гармонические колебания с той же частотой , но с другой амплитудой и фазой (рис. 37). Тогда для выходного сигнала можно записать
y(t) = ym = ym ,
где угол фазового сдвига выходного сигнала относительно входного; период сигнала; круговая частота сигнала.
Пусть исследуемая линейная система описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением
При гармоническом входном сигнале можно в этом уравнении определить все производные входной величины
,
,
....................................................................................
.
Аналогично определятся и производные выходной величины. В результате исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде алгебраического уравнения
Решив это уравнение, получим
Величина W(j ) называется комплексной частотной функцией (или частотной передаточной функцией). Комплексная частотная функция может быть найдена по передаточной функции путем подстановки p = j:
Частотная передаточная функция может быть записана в комплексном виде
где А() – модуль частотной передаточной функции; () – фазовый угол (аргумент); U() = ReW(j) – вещественная составляющая передаточной функции; V() = JmW(j) – мнимая составляющая частотной передаточной функции.
Для частотной передаточной функции справедливы следующие соотношения:
, .
Зависимости А( ) и ( ) определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе системы при изменении частоты входных колебаний. Модуль частотной характеристики A() определяет коэффициент усиления системы для гармонического сигнала с частотой .
Частотные характеристики системы автоматического управления
Частотную передаточную функцию W(j), являющуюся комплексным выражением, можно представить в векторной форме. При изменении частоты входного сигнала в пределах - < < + конец вектора опишет годограф, который называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) (рис. 38).
А ФЧХ строится по точкам. Отрицательная ветвь характеристики АФЧХ при (на рис. 38 показана пунктиром) зеркально отражает ветвь . Поэтому при анализе системы достаточно построить положительную ветвь АФЧХ при изменении частоты .
Амплитудно-фазовая частотная характеристика широко применяется при исследовании систем автоматического управления, например при исследовании устойчивости системы автоматического управления.
Наряду с АФЧХ частотные свойства системы описываются также логарифмическими частотными характеристиками (ЛХ): логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика обычно обозначается как L() и находится из соотношения дБ. Величина выражается в децибелах.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика ЛАХ строится в координатах L() , при этом для оси используется логарифмический масштаб. Использование логарифмического масштаба для оси частот приводит к тому, что эта ось разбивается на одинаковые участки – декады, в пределах которых частота увеличивается в 10 раз.
Л огарифмическая фазовая характеристика ЛФХ строится в координатах . Координатные сетки обеих характеристик объединяются и представляются в общепринятой формуле, показанной на рис. 39.
О
Рис. 39
По оси абсцисс оцифровка ведется в единицах частоты , сами величины откладываются в логарифмическом масштабе. Частотный интервал, соответствующий удвоению частоты, называется октавой. Частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой.
Достоинством логарифмических характеристик является их более простое построение, по сравнению с АФЧХ, а также возможность получения суммарной характеристики для соединения элементов простым суммированием ЛАХ и ЛФХ элементов.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика строго может быть построена в том случае, когда передаточная функция не имеет размерности. Поэтому при построении логарифмических характеристик системы передаточную функцию системы следует преобразовать к такому виду, когда коэффициент преобразования системы становится безразмерным.