Оценка колебательности системы

Качество системы автоматического управления зависит от ее склонности к колебательному переходному процессу. При колебательном переходном процессе в частности возрастает динамическая ошибка в системе из-за наличия перерегулирования. Для численной характеристики колебательных свойств системы используется показатель колебательности М.

Показатель колебательности определяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы

.

Амплитудная частотная характеристика замкнутой системы  это зависимость модуля частотной характеристики замкнутой системы от частоты  (рис. 108). Наличие максимума у амплитудной характеристики говорит о колебательном характере переходных процессов в системе. Показатель колебательности системы

.

При исследовании системы важно определить соответствие системы определённым требованиям по показателю колебательности. В этом случае задаётся предельное допустимое значение показателя колебательности системы и выполняется проверка условия непревышения фактическим показателем предельного значения.

Метод проверки сводится к следующему. Поскольку частотная характеристика замкнутой системы связана с частотной характеристикой разомкнутой системы:

,

то можно записать

. При этом , тогда показатель колебательности системы

.

Учитывая, что

,

можно записать

.

При уравнение для координат точек, соответствующих этому условию, примет вид

( зависимость от не рассматривается, поскольку речь идет о координатах и комплексной плоскости ). Полученное уравнение есть уравнение окружности на комплексной плоскости частотной характеристики разомкнутой системы (рис. 109). Параметры окружности:

.

Каждому значению показателя колебательности будет соответствовать своя окружность. На плоскости частотной характеристики системы W(j) можно нанести сетку таких окружностей.

Для определения показателя колебательности системы необходимо построить её АФЧХ и определить окружность с наибольшим значением , которой коснется АФЧХ, не пересекая эту окружность. Показатель колебательности для этой окружности приписывается системе. Пример построений приведен на рис. 110. Показатель колебательности системы в этом примере M1,9, поскольку годограф пересекает окружность с M=1,8 и не доходит до окружности с M=2.

Чем ближе показатель колебательности к единице, тем меньше перерегулирование в системе. Для качественной системы величина показателя колебательности ограничивается значениями .

Построение вещественной частотной характеристики

При исследовании качества системы частотным методом возникает необходимость в построении графика вещественной частотной характеристики R_з() замкнутой системы. Для построения графика можно найти выражение для вещественной частотной характеристики замкнутой системы через передаточную функцию замкнутой системы и затем построить график по точкам.

Для упрощения построения зависимостей используется метод круговых диаграмм, который позволяет построить эту зависимость по известной характеристике разомкнутой системы. Частотные передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы можно представить в виде комплексных выражений следующего вида:

где  вещественные частотные характеристики разомкнутой и замкнутой системы соответственно;  мнимые частотные характеристики системы.

Поскольку , то .

Если принять , то полученное выражение для будет уравнением окружности в координатах . Эта окружность имеет радиус , и её центр расположен на оси вещественных чисел на расстоянии от начала координат. Задавая разные значения константы c, можно получить сетку окружностей на комплексной плоскости частотной характеристики W(j) разомкнутой системы. Семейство окружностей такого рода получило название круговых диаграмм. Поскольку с использованием круговых диаграмм по характеристике разомкнутой системы определяют характеристику замкнутой системы, то круговые диаграммы называют также номограммами замыкания системы.

Когда годограф W(j) пересекает окружность с определённым значением c=c_k при частоте _k, то это означает, что для замкнутой системы . Таким образом, рассматривая точки пересечения АФЧХ разомкнутой системы с окружностями, можно получить последовательность значений координат точек характеристики . По полученным точкам строится вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

К руговые диаграммы целесообразно вычерчивать на прозрачной бумаге и при построении вещественной частотной характеристики замкнутой системы накладывать на график . Пример использования круговых диаграмм для определения точек вещественной частотной характеристики замкнутой системы показан на рис. 111.

Можно определить по и без построения всех окружностей, используя их свойства пересекаться в точке с координатами . Необходимые для этого построения показаны на рис. 112. Для определения ординаты вещественной частотной характеристики замкнутой системы для некоторой частоты _a на годографе помечаем точку A, соответствующую этой частоте. Затем соединяем точку с точкой и к середине получившегося отрезка (точка В) восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с вещественной осью в точке , тогда искомое значение ординаты вещественной частотной характеристики при частоте _a

.

Аналогично выпол-няются построения для других точек АФЧХ, что позволяет получить ряд значений для разных частот. По полученным значениям строится график вещественной частотной характеристики замкнутой системы.

Метод круговых диаграмм применим и для нахождения мнимой частотной характеристики замкнутой системы. В этом случае окружности располагаются вдоль оси мнимых чисел.