Решение

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях. Выберем их так, как показано на рисунке 20. Если мы ошиблись в выборе направления какого-нибудь тока, то в окончательном решении величина этого тока получится отрицательной, если же случайно выбрано правильное направление тока, то его величина будет положительной.

Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: точки А и С. Для узла А по первому правилу Кирхгофа получим: . Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа. Оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, АСDА, АВСDА. Рассмотрим контур АВСА. В этом контуре имеется две ЭДС ( и ), три резистора ( ) и два тока ( и ). Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направления ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными.

Выберем за положительное направление обхода контура АВСА направление против часовой стрелки; ЭДС направлена против часовой стрелки следовательно, ее считаем положительной; ЭДС направлена по часовой стрелке (т.е. против направления обхода контура); следовательно, она войдет в уравнение второго правила Кирхгофа со знаком минус. Ток проходит через резисторы и , и его направление совпадает с направлением обхода контура. Ток проходит через резистор и направлен против направления обхода. Следовательно, ток положителен, ток отрицателен. По второму правилу Кирхгофа для контура АВСА получаем:

(1).

Если выбрать за положительное направление обхода этого контура направление по часовой стрелке, то по второму правилу Кирхгофа найдем:

Получено уравнение (1), умноженное на (-1). Очевидно, что эти уравнения эквивалентны. Таким образом, сущность второго правила Кирхгофа не зависит от произвольного выбора направления обхода контура.

Рассмотрим контур АСDА. Выберем за положительное направление обхода этого контура направление против часовой стрелки. Применяя второе правило Кирхгофа, получим:

(2).

Система уравнений (1) - (2) является полной. Задача физически решена. Решая полученную систему уравнений, находим:

, ,

Токи и получились отрицательными. Это означает, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток положителен; следовательно, его направление случайно выбрано правильно.

Ответ: , , . Истинное направление токов и противоположно их направлениям, выбранным при решении задачи.

Пример 2. Источники тока с электродвижущими силами и включены в цепь, как показано на рисунке 21. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях и , если и , а и . Сопротивлениями источников тока пренебречь.

Д ано: Решение

Рис. 21

Выберем направление обхода токов, как показано на рисунке, и направление обхода контуров по часовой стрелке.

Схема имеет два узла А и В. Составлять уравнения по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

I₁ + I₂ + I₃ – I₄ =0 (1)

Недостающие три уравнения получим по второму правилу Кирхгофа. Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый входила бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее используемых контуров.

Соответственно для контуров: AR₁BR₂A; AR₁BR₃A; AR₃BR₄A имеем:

I₁R₁ - I₂R₂ = e₁ - e₂ (2)

I₁R₁ – I₃R₃ = e₁ (3)

I₃R₃ + I₄R₄ = 0 (4)

Подставив в формулы (2), (3), (4) численные значения R и e получим:

Поскольку нужно найти только 2 тока, то удобно воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

Искомые значения токов найдем из выражений: и , где D – главный определитель системы уравнений.

DI₂ и DI₃ – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя D столбцами, составленных из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений:

; ;

Отсюда: I₂ = 0; I₃ = -1A.

Знак «-» у значения I₃, свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, направление тока I₃ было указано противоположно истинному.

Ответ: I₂ = 0; I₃ = -1A; ток I₃ течет от узла В к узлу А.

Пример 3. Конденсатору емкостью С сообщили заряд и затем в момент =0 его замкнули на сопротивление R. Найти зависимость от времени t количества теплоты, выделившегося на сопротивлении.

Д

Для бесконечно малого промежутка времени элементарное количество теплоты равно:

(1) Для нахождения всей теплоты проинтегрируем (1) по времени:

Рис. 22

ано Решение

(2) т.е. необходимо знать зависимость Для этого запишем закон Ома для участка цепи:

(3)

; по определению: ; (4)

(5) ;

проинтегрировав (5) получаем: .

Из (6) получим зависимость:

Найдем из начальных условий:

подставив (9) в формулу (2) и проинтегрировав ее, получим:

Ответ:

Пример 4. По проводнику сопротивлением течет ток, сила которого равномерно нарастает от до за время . Определить количество теплоты, выделившееся в проводнике за это время.

Д

По условию задачи сила тока равномерно растет, тогда закон изменения тока с течением времени имеет вид:

, где – коэффициент пропорциональности.

Найдем его величину :

(1)

По определению силы тока: ,(2) тогда ; (3)

ано Решение

Количество выделившейся теплоты для бесконечно малого промежутка времени согласно закону Джоуля – Ленца равно:

(4)

Проинтегрировав (4) получим:

(Дж). (5)

Подставив в (5) значения получаем: Q = 2100 Дж.

Ответ: =2100 Дж.

Р

Рис. 23

ассмотрим решение задач (примеры 5-6), часто встречающихся в заданиях Интернет-экзамена по теме «Работа и мощность электрического тока».

Пример 5. При включении тока его величина в некотором проводнике возрастала линейно, как показано на рисунке, и за 2 секунды достигла 6 А. Сопротивление проводника 20 Ом. Найти количество теплоты, выделившееся в проводнике за это время.

Дано t=2 c; R=20 Ом; I0=0; It=6 А.	Решение Зависимость силы тока от времени, как видно из графика, задана уравнением: (1). Элементарное количество теплоты dQ, выделившееся в проводнике за время dt определяется по формуле (2).
Q - ?

Найдем количество теплоты, выделившееся за все время протекания тока в проводнике: (3);

Из графика зависимости силы тока от напряжения найдем значение силы тока в конечный момент времени: А;

Зная, что t = 2 c, рассчитаем величину коэффициента пропорциональности k:

А/с.

Подставив значение k = 3 А/с в формулу (3) для расчета количества теплоты, выделившейся в проводнике за полное время протекания по нему тока, получим искомую величину:

Дж. Ответ: =480 Дж.

П

Рис. 24

ример 6. На графике, приведенном ниже, показаны вольт-амперные характеристики для двух проводников. Найти отношение мощностей, выделяющихся на каждом из проводников - ?