Примеры решения задач

Пример 1. Электрон, имея скорость υ = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом α = 30° к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Д

Рис. 80

ано: Сделаем рисунок

Решение

Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции и скорости частицы:

(1) , где - заряд частицы.

В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде:

(2)

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной составляющей скорости (см. рис. 80); одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью :

;

В результате одновременного участия в движениях по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем следующим образом. Сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение .

По второму закону Ньютона , где и ,

тогда , откуда после сокращения на находим радиус винтовой линии:

(3) или

Подставив значения величин , , , и , и, произведя вычисления, получим: .

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

(4) , где - период вращения электрона. Подставив это выражение для в формулу (2), найдем:

(5) или .

Подставив в эту формулу значения величин , и , и, вычислив, получим:

.

Ответ: , .

Пример 2. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией по окружности радиусом . Определить скорость электрона.

Д ано Решение

Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца.

Поэтому можно написать:

(1) , откуда найдем импульс электрона:

(2)

Релятивистский импульс выражается формулой: .

Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы:

(3) .

В данном случае . Следовательно,

(4) .

В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение . Вычислим его отдельно: .

Подставив найденное значение отношения в формулу (4), получим , или .

Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивистским

Ответ: .

Пример 3. Электрон, ускоренный разностью потенциа­лов , влетает в однородное магнитное поле под углом к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля . Найти:

1) радиус витка спирали; 2) шаг спирали.

Д ано Решение

Скорость электрона, влетающего в магнитное поле . Разложим скорость на две составляющие: - составляющую скорости, направленную вдоль силовых линий поля, и – составляющую, направленную перпендикулярно силовым линиям поля.

Проекция пути электрона на плоскость, перпендикулярную B, представляет собой окружность, радиус которой, равный искомому радиусу витка спирали определяется формулой (1) , где – угол между направлением скорости электрона и направлением поля. Так как период обращения электрона , то отсюда шаг винтовой траектории электрона будет равен:

(2) .

Подставив числовые данные задачи, получим:

Ответ: ; .

Пример 4. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое ( ) и магнитное ( ) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Д ано Решение

Для того чтобы найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе , воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частиц:

(1) , откуда (2).

Скорость альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции ;

б

Рис. 81

) кулоновская сила , сонаправленная с вектором напряженности электростатического поля (Q>0).

Сделаем рисунок с изображением координатных осей и векторных величин. Направим вектор магнитной индукции вдоль оси Oz (рис. 81), скорость - в положительном направлении оси Ox, тогда и будут направлены так, как это указано на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил и будет равна нулю. В проекции на ось Oy получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции и синус угла между ними равен 1:

, откуда .

Подставив это выражение скорости в формулу (2), получим

.

Ответ:

Рассмотрим решение задач (примеры 5- 9), часто встречающихся в заданиях Интернет-экзамена по теме «Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях».

Рис. 82

Пример 5. В магнитном поле двух бесконечно длинных параллельных проводников с одинаковыми токами, направленными от нас, перпендикулярно к плоскости листа, пролетает электрон (см. рис. 82). Как направлена сила, действующая на электрон в точке А?