Решение

Рассмотрим участок пространства между обкладками конденсатора. Т.к. среда слабо проводящая, будем считать, что разность потенциалов электростатического поля есть величина постоянная, участок - однородный. Тогда разобьем этот участок на слои толщиной . Элементарное сопротивление такого тонкостенного цилиндрического слоя радиуса и толщины будет: . Т.к. слои соединены последовательно, то результирующее сопротивление равно:

.

Для однородного участка цепи силу тока найдем по закону Ома в интегральной форме: .

Проверка размерностей: [R] = =Ом; [I] = = А.

Ответ: ;

Эта задача иллюстрирует применение метода дифференцирования и интегрирования (ДИ) к расчету характеристик электрической цепи- силы тока и сопротивления цепи.

Пример 6. Определить сопротивление в цепи уличного освещения, которое состоит из достаточно большого числа одинаковых ячеек, состоящих из сопротивлений подводящих проводов и сопротивления лампы, соединенных как показано на рисунке 4.

Рис. 4

– сопротивление лампы, – длина подводящих проводов между двумя столбами, – удельное сопротивление подводящих проводов, – площадь поперечного сечения проводов.

Д ано Анализ

Т. к. цепь бесконечно длинная, то, отделив одно звено, мы практически не изменим общее сопротивление всей цепи. Обозначим общее сопротивление цепи – . Составим эквивалентную схему нового соединения (рис. 5).

Рис. 5

Сопротивление первой лампочки и общее сопротивление цепи соединены параллельно, заменим их одним сопротивлением :

(1) (2)

С

Рис. 6

оставим новую эквивалентную схему соединения - рис.6. , в которой имеем последовательное соединение трех резисторов, сопротивления которых известны, и найдем общее сопротивление нового соединения:

(3). Перепишем выражение (3) в виде (4):

(4)

Решением уравнения (4) является:

(5)

По определению сопротивление длинного проводника равно: (6)

Окончательно получим: (Ом).

Ответ: (Ом).

Пример 7. Длинный проводник круглого сечения радиусом r сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния r до оси проводника как , где a = const. По проводнику течет ток I. Найти:

1. Сопротивление единицы длины проводника.

2. Напряженность поля в проводнике.

Д ано Сделаем рисунок

r

Рис. 7

, I,

= а/r²

a = const

Решение

Рассмотрим применение к решению задачи теоремы о циркуляции вектора ЭСП и закона Ома в дифференциальной форме для однородного участка цепи.

Проводник, рассматриваемый в задаче, неоднородный, т.к. его сопротивление меняется с изменением расстояния от оси проводника.

Докажем, что напряженность электростатического поля ( = const) является постоянной во всех точках сечения данного проводника.

Для доказательства воспользуемся теоремой о циркуляции вектора напряженности ЭСП.

Замкнутый контур внутри проводника выберем в виде прямоугольника, одна сторона которого совпадает с осью проводника (рис. 7).

(1);

(3).

Т.к. АВ=СD, то = const, т.е. напряженность постоянна во всех точках проводника. Из закона Ома в интегральной форме сопротивление проводника равно: . (4). Но и тогда (5).

Теперь запишем закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной форме: .(6)

По определению: (7). Отсюда: (8).

Т.к. проводник имеет круглое сечение радиусом , то: , тогда (площадь тонкого кольцевого слоя, в пределах которого величину плотности тока можно считать одинаковой) будет равна: (9).

Учитывая, что а , то вынеся постоянный множитель из-под знака интеграла, получим:

_{Выразим искомую величину напряженности электрического поля из соотношения (10):}

₍₁₁₎

Теперь найдем сопротивление проводника из закона Ома в интегральной форме для однородного участка цепи: (12), учитывая, что (13),

тогда:

Проверка размерности: ;

= ; [a] = .

Ответ: ; .

Пример 8. Ток короткого замыкания источника тока с ЭДС составляет 40 А. Найти величину сопротивления, которое нужно включить во внешнюю цепь, чтобы получить от этого источника ток силой 1 А.

Д ано Решение

Величину внутреннего сопротивления источника найдем из выражения для величины тока короткого замыкания:

(1)

(2)

Из закона Ома для полной цепи: (3) выразим величину сопротивления цепи, подставив значение внутреннего сопротивления источника тока в формулу (3). Получим: (4)

Проверка размерности:

Расчет: числовое значение сопротивления -

Ответ: .

Пример 9. Можно ли с помощью вольтметра измерить ЭДС источника?

Рис. 8