Решение

Поскольку проводник не тонкий, то закон Био-Савара-Лапласа неприменим. Однако поле обладает симметрией, поэтому применим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции . Рассмотрим два случая:

1. В качестве замкнутого контура возьмем окружность радиуса , (точка на расстоянии ). Сумма токов, охватываемой этой окружностью, равна . Вследствие симметрии модуль вектора магнитной индукции одинаков во всех точках окружности и направлен по касательной, а значит:

, ( ).

Получим .

2. Если точку возьмем вне проводника, а в качестве замкнутого контура выберем окружность радиуса , то по теореме о циркуляции находим:

, откуда .

Г

Рис. 42

рафик зависимости имеет вид:

О

Рис.43

Рис. 43

Рис. 2

твет: , .

Пример 3. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом течет ток силой (рис. 43). Найти индукцию магнитного поля на оси кругового тока: 1) на расстоянии от плоскости кольца; 2) в центре кольца.

Д

Решение

1) Применим метод ДИ. Разобьем кольцо на отрезки длиной . Согласно закону Био-Савара-Лапласа определим индукцию магнитного поля , созданного элементом кольца в точке А. Вектор от элемента тока I , находящегося в точке Д, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и .

ано

От всех элементов тока кольца будет образовываться конус векторов , а результирующий вектор в точке А будет направлен вдоль оси z.

Тогда: , где согласно закону Био-Савара-Лапласа . Угол между и радиусом-вектором равен , т.е. . Отсюда , а для получаем:

(1) , где и по теореме Пифагора .

Интегрируя уравнение (1) , получим:

Проверка:

2) В центре кольца , , поэтому . Интегрируя уравнение (1) в пределах от 0 до , получим:

Ответ: ; .

Пример 4. Тонкая лента шириной свернута в трубку радиусом . По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток силой . Определить индукцию магнитного поля на оси трубки в двух точках: 1) в средней точке (1); 2) в точке, совпадающей с концом трубки (2).

Д ано Сделаем рисунок

Рис. 44

Решение

Проводник нельзя считать тонким, а теорема о циркуляции неприменима из-за отсутствия симметрии поля.

Для расчета применим метод ДИ.

Разобьем трубку на столь узкие кольца, чтобы каждое из них можно было считать тонким круговым проводником.

Пусть ширина кольца - dx, а расстояние от кольца до точки (1) - x.

Сделаем рисунок.

Рис. 45

Рис. 5

Тогда элементарный ток, текущий по этому узкому кольцу, равен:

, где - ток, приходящийся на единицу длины трубки. Он создает в точке (1) магнитное поле с индукцией :

За переменную интегрирования удобно выбрать угол , под которым виден радиус каждого кольца из точки (1). Тогда из рисунка следует: ; ; .

Тогда .

При перемещении по трубке от точки (0) до точки (1) угол меняется в следующих пределах: от до , причем .

; .

Во втором случае: ; ;

Тогда:

Проверка размерности: ;

Ответ:

Пример 5. Ток течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкой дуги длины и радиуса (рис. 46). Определить индукцию магнитного поля в точке О.