3.4 Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия – сумма межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Таблица

Производительность труда рабочих (деталей в смену)
Рабочие, имеющие специальное техническое образование					Не имеющие специального технического образования
84	93	95	101	102	62	68	82	88	105

= 95 (дет.) , = 81 (дет.)

На основе внутригрупповых дисперсий рассчитана средняя дисперсия.

Межгрупповая дисперсия:

Общая дисперсия:

σ² = δ² + σ²

185,6 = 49 + 136,6

Общая дисперсия – дисперсия, характеризующая вариацию признака под влиянием всех факторов.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию анализируемого признака, обусловленную группировочным признаком.

Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, обусловленную всеми остальными факторами, за исключением группировочного.

Поэтому общая дисперсия равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

В условиях собственно-случайной выборки в формуле средней ошибки выборки используется общая дисперсия

При стратифицированной выборке для расчета ошибки репрезентативности используется внутригрупповая дисперсия.

Серийная (гнездовая) выборка. Используется межгрупповая дисперсия:

, где

r - число серий в выборочной совокупности;

R - число серий в генеральной совокупности.

Максимальная ошибка выборки возникает при организации собственно-случайной выборки. Стратифицированный и серийный отборы, позволяющие сформировать выборку по структуре и закону распределения более близкую к генеральной совокупности, дают наименьшую величину ошибки.

3.5 Ошибка выборки для доли

Теорема Бернулли – это частный случай теоремы Чебышева и теоремы Ляпунова. Она является основой расчета ошибки выборки для доли. То есть при изучении альтернативного признак или так называемой дихотомической переменной (имеющей всего два исхода). Реально это оценивается в расчете доли единиц совокупности, обладающих или не обладающих данным признаком.

При расчете средней ошибки доли используется формула, аналогичная средней ошибке средней величины, но с учетом дисперсии доли.

, где

W - выборочная совокупность (доля);

p - доля генеральной совокупности.

σ² = W · (1 – W) - дисперсия доли.

W – tμ ≤ p ≤ W + tμ

3.6 Определение объема выборки

На стадии проектирования выборочного наблюдения рассчитывается объем выборки, который позволит получить допустимую величину ошибки, то есть ошибку, которая удовлетворит задачам исследования. Расчет объема выборки осуществляют исходя из формулы ошибки выборки. Предельная ошибка выборки:

, , ,

Величина ошибки выборки обусловлена задачами исследования и задается на стадии проектирования.

Значение t зависит от устанавливаемого уровня вероятности. Значение дисперсии берется по результатам предшествующих аналогичных исследований, если таковые проводились и если за время между исследованиями не произошло существенных изменений в изучаемой совокупности.

Может быть проведено пробное исследование и по результатам его рассчитана величина дисперсии. Но очень часто нет средств на проведение пилотажного (пробного) исследования.

К определению дисперсии подходят формально, исходя их привила трех σ - когда невозможно провести пилотажные исследования.

σ = 1/6 R , где R – размах вариации.

Если распределение заведомо асимметрично, то значение σ = 1/5 R

В формуле расчета объема выборки ( ) ошибка выборки берется как

абсолютная величина, однако, на практике размер ошибки задается, как правило, как относительная величина. То есть говорят, что ошибка не должна превышать 2% (или 5%).

→