9.2. Эффективная добавка (э)

Находящийся в критическом состоянии реактор в результате добавления к активной зоне отражателя становится надкритическим. Чтобы, сохраняя k_∞, перевести реактор в критическое состояние, необ­ходимо уменьшить размеры его активной зоны. Таким образом, критические размеры активной зоны реактора с отражателем всегда меньше, чем соответствующие размеры реактора без от­ражателя.

Распределение нейтронов вблизи границы раздела формиру­ется перетечками из одной среды в другую. Поскольку отража­телями нейтронов, как правило, служат материалы с малым се­чением поглощения нейтронов и их диффузионные свойства резко отличаются от свойств активной зоны, то вблизи неоднородности нарушается пропорциональ­ность между потоками быстрых и тепловых нейтронов и пере­менные r и E в Ф(r,Е) не разделяются.

По мере удаления от границы в глубину активной зоны влияние потока из отражателя уменьшается и распределение нейтронов по пространству и энергии приближается к форме, зависящей только от параметров самой активной зоны Такое распределение называют асимптотическим. В энергетических реакторах области, где справедливы такие распределения, отно­сительно велики. В связи с этим рассмотренная выше теория ре­актора без отражателя служит некоторой основой и для теории реактора с отражателем.

Итак, окружение активной зоны реактора бесконечно-толстым слоем хорошего замедлителя, называемого отражателем, даёт возможность уменьшить критические размеры активной зоны и, тем самым, добиться экономии ядерного топлива и конструкционных материалов.

Вопрос: намного ли отражатель уменьшает критические размеры активной зоны?

Определение:

Разница критических полуразмеров активной зоны, получаемая за счёт применения отражателя называется эффективной добавкой и обозначается _э.

Поэтому на основании данного определения величина эффективной добавки:

_э = R' - R_аз (9.2.1)

Здесь R' и R_аз, см - критические радиусы активной зоны без отражателя (в вакууме) и при применении отражателя соответственно.

Или через вертикальные критические размеры - высоты критической активной зоны без отражателя (Н') и с отражателем (Н_аз):

_э = Н'/2 - Н_аз/2 (9.2.2)

Таким образом, найдя величину _э, можно ответить на вопрос о выигрыше в компактности активной зоны, получаемом за счёт применения отражателя.

Зависимость величины _э от толщины отражателя.

Отражатели в ядерных реакторах конструируются, как правило, из того же материала, который служит в качестве основного замедлителя в их активных зонах.

До сих пор речь шла о гипотетическом отражателе бесконечной толщины. Но, разумеется, никому не придёт в голову оснащать активную зону реактора отражателем, скажем, двухметровой толщины ради сокращения её размеров на 5-10 см. Здравомыслящий человек постарается вначале выяснить, как зависит _э от толщины отражателя, а затем уже станет думать, стоит ли овчинка выделки.

Особенно важен ответ на вопрос об эффективной толщине отражателя для транспортных и исследовательских реакторов, где выигрыш в размере активной зоны на 20 см оборачивается уменьшением веса всей установки на десятки тонн.

То, что эффективность действия отражателя (которая оценивается величиной _э) зависит от толщины отражателя (П_о), очевидно. В самом деле, если активная зона лишена отражателя (П_о = 0), то _э = 0; если же активная зона окружена отражателем бесконечной толщины, то нужно ожидать, что при отражателе такой толщины значение эффективной добавки будет иметь наибольшую величину (_э^max); при промежуточных значениях П_о должна существовать какая-то зависимость эффективной добавки от толщины отражателя из данного материала - _э = f (П_о).

Предположим, имеются две критические активные зоны одинакового состава - без отражателя и с отражателем конечной толщины П_о.

В обоих случаях для среды активной зоны, а во втором случае - и для среды отражателя, можно записать волновое уравнение (Гельмгольца), для которого по конкретным (критическим) размерам и диффузионным характеристикам сред можно составить граничные условия, затем решить эти уравнения, найти в обоих случаях величины геометрического параметра активных зон и критические размеры их без отражателя и с отражателем. Разница критических полуразмеров первой и второй активных зон и даст величину эффективной добавки _э(П_о1) при конкретной толщине отражателя П_о1.

С некоторыми допущениями эта задача решается не только в численном, но и в общем аналитическом виде, давая возможность получить следующее выражение:

(9.2.3)

где: _tr^аз и _tr^o, см^-1 - величины транспортных макросечений сред активной зоны и отражателя соответственно;

L_o, см - длина диффузии в отражателе.

Прежде всего отметим, что величина эффективной добавки пропорциональна величине гиперболического тангенса от относительной (т.е. выраженной в длинах диффузии L_o) толщины отражателя.

Напомним, что собой представляет функция гиперболического тангенса. Самое простое её выражение - через экспоненциальные функции того же аргумента:

(9.2.4)

Наглядное представление об функции гиперболического тангенса thx даёт её график:

1.0

thx

0.5

0 1 2 х

Как видим, гиперболический тангенс - функция монотонная и возрастающая; с ростом х она асимптотически устремляется к своему предельному значению - единице. Но заметим, что практически (с менее чем 4%-ной погрешностью) она приближается к своему пределу уже при х = 2 (th2  0.964).

Теперь о зависимости _э(П_о). Понятно, что если построить график _э по оси абсцисс в единицах длины диффузии в отражателе (то есть в относительных единицах П_о/L_о), то этот график, по существу, повторит кривую гиперболического тангенса в ином масштабе по оси _э. Асимптотическим пределом величины _э при П_о/L_о   будет значение: (9.2.5)

_э (П_о)

0 L_o 2L_о П_о

Зависимость эффективной добавки от толщины отражателя.

Вид этого графика свидетельствует о том, что величина эффективной добавки на 96.4% достигает своего предела уже при толщине отражателя:

П_о  2L_о.

Возникает практический вопрос: стоит ли увеличивать толщину отражателя более этого значения, зная при этом, что уменьшение критических размеров активной зоны на 1 см достанется ценой увеличения массы самого отражателя приблизительно на 650 кг и массы корпуса ВВЭР - на 1300 кг? – Наверное, не стоит.

Эффективной толщиной отражателя из заданного материала называется его толщина, при которой отражатель по своим свойствам практически идентичен бесконечно толстому отражателю из этого материала.

Найденная величина:

П_эф  2L_o (9.2.6)

и есть эффективная толщина отражателя в диффузионном приближении.

В диффузионно-возрастном приближении эффективная толщина отражателя считается равной полутора длинам миграции нейтронов в активной зоне:

(9.2.7)

Расчёты по обеим формулам дают приблизительно одинаковые результаты. Считая, что у разогретого ВВЭР длина диффузии в водном отражателе L_о  5.5 см, можно получить представление об эффективной толщине отражателя в реальных ВВЭР, равной приблизительно 10  11 см. Такие же расчёты для реактора с графитовым отражателем дают значение эффективной толщины отражателя приблизительно 0.94 м (в реакторе РБМК-1000 фактическая толщина отражателя – 1 м).

Физические основы конструкции отражателей в реальных ЭЯР.

В соответствии с упомянутым правилом, основным материалом отражателя выбирается тот же материал, что служит в реакторе основным замедлителем.

Поэтому в уран-графитовом реакторе РБМК-1000 отражатель выполнен из графита, а в реакторе ВВЭР-1000 основной материал отражателя - вода.

Однако в обоих случаях дело обстоит немного сложнее. В ВВЭР, например, отражатель не чисто водяной, а слоистый, водно-стальной: кольцевые слои воды вокруг активной зоны чередуются с кольцевыми слоями нержавеющей стали. Нержавеющая сталь 08Х18Н10Т, применяемая как основной материал для внутриреакторных конструкций, имеет довольно неплохие замедляющие свойства:

- транспортное макросечение _tr = 0.861 см^-1 (у воды _tr  2 см^-1);

- стандартная длина диффузии L = 1.62 см (у воды L = 2.72 cм);

- замедляющая способность _s = 0.018 cм^-1 (у воды _s = 1.35 cм^-1).

Недостаток этой стали как материала для отражателя - её большое макросечение поглощения (_a  0.24 cм^-1), из-за чего эффективность водно-стального отражателя несколько снижается по сравнению с чисто водным.

Применение стальных слоев в экранной сборке ВВЭР - дань другой необходимости. Из активной зоны работающего ВВЭР идёт не только поток утечки нейтронов, но и мощное -излучение, для которого дециметровый слой воды не является достаточной преградой; попадая на корпус реактора, поток -квантов высоких энергий вызывает радиационный наклёп в его стали, отчего она теряет свои пластические свойства, охрупчивается. Поэтому постановка стальных экранов между активной зоной и корпусом реактора является вынужденной мерой, цель которой - снижение на два порядка величины потока гамма-излучения на корпус реактора, и повышение надежности и долговечности его работы.

Для водно-стальных отражателей эффективной толщины величина эффективной добавки с приличной точностью может вычисляться по эмпирической формуле:

_э  3.2 + 0.1(L_аз² + _аз) (9.2.8)

Водно-стальную компоновку имеют и верхний и нижний торцевые отражатели в ВВЭР, с той лишь разницей, что в них нет явно выраженного чередования горизонтальных слоев воды и стали.

В реакторе РБМК-1000 и боковой, и торцевые отражатели в силу необходимости также имеют не чисто графитовую структуру: через нижний отражатель проходят подводящие теплоноситель к технологическим каналам трубы, в верхнем отражателе проходят отводящие трубы, а графит бокового отражателя пронизывают от низа до верха вертикальные трубы охлаждения самого отражателя.

Требования к материалу отражателя

Отражательная способность материала зависит от его диффузионных характеристик: длины транспортного пробега нейтронов, длины диффузии, возраста, которые, в свою очередь, определяются сечениями рассеяния и поглощения. Поэтому в качестве материала отражателя используют материалы с высоким значением коэффициента внутреннего отражения или альбедо, являющиеся отношением плотности одностороннего тока нейтронов из отражателя в а.з. к плотности одностороннего тока нейтронов из а.з. в отражатель.

Еще более сужает круг материалов, пригодных для использования в качестве отражателя, тот факт, что в ЯР на тепловых нейтронов необходимо, чтобы быстрые нейтроны, попавшие в отражатель, возвращались в а.з. уже тепловыми, т.е. материал отражателя должен обладать высокой замедляющей способностью. Таким требованиям в полной мере отвечают элементы с малой атомной массой. Материал отражателя должен и как можно меньше поглощать тепловые нейтроны и иметь высокий коэффициент замедления. Большое значение имеет стоимость и другие свойства отражателя – как известно, наилучшей отражающей способностью обладает бериллий, который под действием быстрых нейтронов распадается (в пределе) на литий-6, гелий-3 и тритий, которые обладают большими сечениями поглощения тепловых нейтронов. Происходит «отравление» бериллия, которое уменьшает его отражающие свойства.

В реакторах на быстрых нейтронах необходимо возвращать из отражателя в а.з. незамедлившиеся нейтроны. Поэтому в таких реакторах отражатель должен иметь малые значения потерь энергии в акте рассеяния и высокие значения сечений рассеяния. Этим требованиям отвечают отражатели из тяжелых атомов: сталь, уран, никель и т.п.

Гомогенный реактор с отражателем в одногрупповом приближении. Уравнения и граничные условия.

В одногрупповом приближении предполагается, что спектр нейтронов во всем реакторе одинаков. Как уже указывалось, это предположение перестает быть справедливым вблизи гра­ницы активной зоны и тем более неверно в отражателе. По­этому влияние отражателя на критический размер можно уста­новить лишь приближенно. Тем не менее одногрупповое при­ближение может быть использовано для иллюстрации многих свойств реакторов с отражателем и оценки масштаба эффектов, а в случае больших реакторов, когда влияние отражателя мало, даже для получения количественных результатов.

В целях определения критического размера запишем урав­нения диффузии для активной зоны и отражателя и дополним их соответствующими граничными условиями. Внутри активной зоны уравнение миграции и размножения нейтронов имеет уже знакомый нам вид

Решим задачу о реакторе с отражателем вначале в одногрупповом диффузионном приближении. Для простоты рассмотрим гомогенный реактор, состоящий из однородной активной зоны (индекс «1») и отражателя (индекс «2»). Такой реактор будем называть однозонным.

Запишем отдельно уравнение ЯР для а.з. и отражателя:

Активная зона: (1)

где – материальный параметр

В отражателе нет делящегося материала, поэтому формально уравнение ЯР для отражателя имеет тот же вид:

(2)

материальный параметр .

Причем для большинства отражателей (D₂O, C, Be) τ<<L², поэтому M²≈ L² и . Однако в случае Н₂О замена М² на L² будет существенно влиять на получаемый результат. Граничные условия для системы (1)-(2) аналогичны условиям для уравнения диффузии:

1. На границе раздела а.з./отражатель (поверхность F) плотность потока нейтронов в а.з. равна плотности потока нейтронов в отражателе:

2. На границе раздела а.з./отражатель (поверхность F) плотность диффузионного тока нейтронов в а.з. равна плотности диффузионного тока нейтронов в отражателе:

3. На экстраполированной границе отражателя плотность потока нейтронов в отражателе равна нулю.

Теперь на основе системы (1)-(2) и граничных условий проанализируем условия критичности ЯР различной формы с отражателем.

ПЛОСКИЙ РЕАКТОР

Р ассмотрим бесконечно плоский ЯР, состоящий из а.з. толщиной Н и боковых отражателей толщиной Т каждый. Начало координат поместим в плоскость симметрии. Т.к. пластина тонкая, то по физическому смыслу задача является одномерной, т.е. имеет место зависимость потоков только от х. В этом случае уравнения (1) и (2) принимают вид:

для а.з. (3)

для отражателя (4)

Граничные условия имеют вид

(5)

(6)

(7)

При этом потоки нейтронов должны быть конечны и неотрицательны.

Уравнения (3) и (4) представляют собой линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения для (3) являются мнимыми, а корни характеристического уравнения для (4) – действительными и не равными друг другу. Тогда можно записать общие решения:

Ф₁(x) = A₁cos (χ₁x) + C₁ sin (χ₁x) (8)

Ф₂(x) = A₂exp (χ₂x) + C₂exp (–χ₂x) (9)

Так как потоки в а.з. должны быть симметричны относительно оси реактора, то решение (8) будет соответствовать условию симметрии, если константа С₁=0, тогда окончательно для а.з. распределение потока нейтронов имеет вид:

Ф₁(x) = A₁cos (χ₁x) (10)

Рассмотрим решение уравнения (9). В нем выразим экспоненты через гиперболические функции e^x = ch (x) + sh (x), e^–x = ch (x) – sh (x):

Ф₂(x) = A₂ [ch (χ₂x)+sh (χ₂x)] + C₂[ch (χ₂x)–sh (χ₂x)] = M ch (χ₂x)+N sh (χ₂x) (11)

где M= A₂+C₂, N= A₂ –C₂.

Воспользуемся граничным условием (7). Тогда получаем:

Подставим полученное соотношение в (11):

(12)

Известно, что sh(a–b)=sh(a)ch(b)–ch(a)sh(b). Тогда в (12) числителе выражение в фигурных скобках можно привести к более компактному виду:

, (13)

где .

Таким образом, для ЯР в форме бесконечной пластины распределение потоков нейтронов будут описываться соотношениями (10) и (13):

Ф₁(x) = A₁cos (χ₁x) (10)

, (13)

Для указанных выражений воспользуется граничными условиями (5) и (6) в точке с координатой H/2 (граница раздела АЗ/отражатель). В этом случае условие (5) (равенство потоков) примет вид:

(14)

Реализуем условие (6) (равенство плотностей диффузионных токов):

(15)

Разделим почленно (15) на (14) и получим

(16)

Выражение (16) является условием критичности бесконечно плоского ЯР с отражателем, которое, как и в случае ЯР без отражателя, имеет тот же физический смысл: устанавливает в критическом ЯР связь между геометрическими параметрами (Н и Т) и параметрами среды χ₁, χ₂, D₁, D₂. Другими словами с помощью этого условия можно решить любую задачу о критичности: если задан состав а.з. и отражателя (χ₁, χ₂, D₁, D₂), можно определить критические размеры системы; и наоборот.

В реакторе без отражателя (Т=0) правая часть условия (16) начнет стремиться к бесконечности. Тогда условие критичности примет вид:

Вспомним полученное ранее выражение для такого случая . Они совпадают.

Рассмотрим, какова роль отражателей и каким образом в простейшем алгоритме расчета учитывается их присутствие. В реакторе с отражателями плотность потока нейтронов Ф(х) тоже снижается у границ активной зоны, но не до нуля, как на экстраполированной границе реактора без отражателя. Функция Ф(х), умозрительно экстраполированная за пределы реальной активной зоны, обращается в нуль на границах воображаемого реактора в форме пластины с размерами

Величина δ, заменяющая действие отражателя, рассчитываются -теоретически и называются экстраполяционной добавкой к размерам активной зоны (соответственно сбоку, снизу и сверху). Раз­мер Н_э называется экстраполированным размером эк­вивалентного реактора без отражателей.

К понятию эквивалентного реактора и экстраполяционной добавки можно подойти и другим образом. Если у критического реактора удалить отражатель, то для того, чтобы он остался в критическом состоянии, необходимо увеличить размер (толщину) активной зоны на некоторую величину δ, компенсирующую отсутствие отражателя.

Рассмотрим два бесконечно плоских ЯР.

Пусть первый ЯР в форме бесконечной пластины с отражателем имеет критический размер Н, а эквивалентный ему (по значению К_эф или по размножающим свойствам) в форме бесконечной пластины без отражателя имеет критический размер Н₀ (с учетом длины экстраполяции). Известно, что Н₀>Н. По определению эффективная добавка за счет отражателя будет равна:

(17)

В критическом ЯР без отражателя материальный параметр равен геометрическому, тогда . В (17) выразим ширину ЯР с отражателем и подставим туда найденное выражение для Н₀: . Теперь это полученное выражение подставим в условие критичности (16)

В аргументе тангенса открываем скобки и получаем

В итоге получаем, что условие критичности принимает вид:

, (18)

отсюда эффективная добавка за счет отражателя равна:

(19)

Если ЯР большой H>>d, в выражении (18) аргумент тангенса мал, а сам тангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения:

, учитывая, что χ₂=1/М₂, получаем:

(20)

Проанализируем полученную зависимость d от параметров активной зоны и отражателя, рассмотрев предельные случаи. Эффективная добавка пропорциональна ги­перболическому тангенсу от толщины отражателя, измеренной в длинах миграции: при малых Т/М₂ величина d растет линейно, а при Т/М₂>2~3 рост d практически прекращается (см. рисунок).

1. Тонкий отражатель М₂>>T. Тогда аргумент гиперболического тангенса в (20) будет мал, сам гиперболический котангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения . Отсюда , т.е. δ~T (в частном случае при D₁=D₂). В этом случае величина δ определяется толщиной отражателя.

2. Толстый отражатель М₂<<T, т.е. , следовательно, . Тогда , т.е. δ~M₂. В этом случае величина δ определяется ядерно-физическими свойствами отражателя.

Анализ полученных результатов показал, что при введении отражателя первоначально величина δ растет с ростом толщины отражателя, а критические размеры а.з. уменьшаются. Достигнув определенной толщины, рост δ практически прекращается независимо от роста толщины отражателя (прекращается и уменьшение критических размеров а.з.). В этом случае роста δ, а значит и уменьшения размеров АЗ, можно добиться, использую другой материал отражателя, у которого выше замедляющие свойства: длина диффузии и возраст.

Коэффициенты диффузии D₁ и D₂ достаточно близки друг к другу для большинства материалов, поэтому значение δ определяется в первую очередь значениями квадрата длины диффузии (L²) и возрастом (τ) материала отражателя.

Можно оценить и разумную толщину отражателя: (2-3) М₂. Од­нако на практике решающими часто оказываются экономиче­ские соображения и размер отражателя выбирается меньшим. Так, в реакторах с графитовым и тяжеловодным отражателем толщина отражателя составляет, как правило, 60—80 см.

Используя понятие δ, реальный критический реактор с отра­жателем можно заменить эквивалентным критическим реактором без отража­теля. Это позволяет записать критическое уравнение для пло­ского реактора с отражателем в виде:

Такая запись значительно облегчает решение различных задач.

Цилиндрический ЯР с боковым отражателем в одногрупповом приближении

В рамках одногруппового приближения аналитически может быть решена только задача, в которой отражатель расположен только на основаниях ци­линдра. В том случае, когда активная зона окружена отражателем со всех сторон, переменные r и z не разделяются и аналитическое решение в рамках одногруппового приближения не может быть получено. Такой случай будет рассмот­рен ниже при анализе двухгруппового приближения.

Рассмотрим ЯР, представляющий собой АЗ высотой Н (экстраполированный размер) и радиусом R, окруженную боковым отражателем, толщиной Т. Начало координат находится в центре симметрии. Так как на торцах ЯР отсутствует отражатель, то его влияние скажется на радиальную составляющую потоков, т.е. аксиальная составляющая потока будет точно такой, как в случае ЯР без отражателя. Предположим, что переменные r и z разделяются и будем искать решение в виде:

Условия симметрии удовлетворяются, а граничные условия на торцевых плоскостях цилиндра:

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению функций f₁(r) и f₂(r).

Для функции f(r) запишем уравнения ЯР:

(1)

(2)

где – радиальная составляющая материального параметра АЗ; – радиальная составляющая материального параметра отражателя.

Определим эти составляющие.

Активная зона: ,

где – полный материальный параметр; – аксиальная составляющая материального параметра. При этом вследствие того, что нет бокового отражателя, аксиальная составляющая материального параметра равна аксиальной составляющей геометрического параметра такого же реактора без отражателя (реактор критический): . Тогда получаем:

. Отсюда видно, что - величина действительная.

По аналогии рассмотрим радиальную составляющую материального параметра отражателя, учтя при этом, что в отражателе нет делящихся материалов (k_∞=0)

. Отсюда видно, что - величина мнимая. Таким образом, исходные уравнения примут вид:

(1)

(3)

Эту систему уравнений необходимо дополнить граничными условиями:

f₂(R₂) = 0, где R₂=R+T (4)

f₁(R) = f₂(R) (5) (равенство потоков на границе АЗ-отражатель)

(6) (равенство диффузионных токов на АЗ –

отражатель)

Решение уравнения (1) известно

(7)

Решим уравнение (3). В цилиндрических координатах оно имеет вид:

(8)

Уравнение (8) помножим на r², затем первое слагаемое умножим и разделим на , второе слагаемое - .

(9)

Уравнение (9) – уравнение Бесселя с аргументом . Причем этот аргумент – мнимый. В этом случае решением уравнения Бесселя являются модифицированные функции Бесселя нулевого порядка:

, (10)

где – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента первого рода; – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента второго рода (функция Макдональда).

Для решения (10) воспользуемся граничным условием (4):

, отсюда:

(11)

Подставим (11) в (10) и для потоков в АЗ и отражателе окончательно получим:

(12)

(13)

Для (12) и (13) используем граничные условия (5) и (6):

(14)

(15)

Разделим (15) на (14) и получим:

, (16)

где R₂=R+T.

По аналогии с ЯР в форме пластины докажем, что условие (16) является условием критичности, т.е. если уберем отражатель, условие (16) должно прейти в условие критичности реактора без отражателя: .

Пусть нет отражателя (Т=0). Тогда знаменатель в правой части (16) обращается в 0, а сама правая часть стремится к бесконечности. Тогда

Т.к. функция ограничена при всех х, то указанное условие будет выполняться только при или (первый корень функции Бесселя первого рода нулевого порядка) , что и требовалось доказать.

Как и в случае плоского ЯР введем понятие эффективной добавки за счет отражателя δ = R₀ – R, где R₀ – критический радиус эквивалентного цилиндрического ЯР без отражателя. Выразим R и подставим в левую часть условия критичности (16):

Рассмотрим ЯР, имеющий большие размеры, т.е. радиус велик по сравнению с величиной эффективной добавки δ << R. Тогда разложим (17) в ряд Тейлора по малому параметру , ограничившись первым числом разложения (достаточно сложные математические выкладки опустим).

(17)

С другой стороны в большом реакторе R>>M₂, следовательно, . В этом случае для правой части условия (16) воспользуемся асимптотическим разложением модифицированных функций Бесселя:

; .

Тогда правая часть (16) примет вид:

(18)

В итоге сопоставляя (17) и (18), для больших ЯР получим условие критичности:

(19)

Это выражение с точностью до первых членов разложений совпадает с результатом, полученным для плоского ЯР. Надо заметить, что с уменьшением R необходимо учитывать больше членов разложения вследствие увеличения кривизны поверхности и полученное для δ выражение усложнится. Далее необходимо провести анализ δ при различных толщинах отражателя.

Таким образом, используя рассмотренный алгоритм решения подобных задач, можно решить в одногрупповом приближении задачи о сферическом ЯР с отражателем и о цилиндрическом ЯР с торцевым отражателем.

В заключении необходимо отметить, что все основные соотношения получены в предположении больших размеров ЯР. С уменьшением размеров ЯР точность одногруппового метода падает, т.к. большую роль начинают играть члены, следующие за первым членом разложения в ряды, и их надо учитывать, что приводит к получению сложных выражений.