Многогрупповое уравнение диффузии. Баланс нейтронов.

Многогрупповой подход, основан на следующих предположениях:

1. Нейтроны делятся на J групп по энергии. Границы групп выбирают исходя из необходимости обеспечить правильное описание процессов взаимодействия нейтронов с материалами активной зоны. Наибольшее распространение имеет 26-групповое разбиение, основанное на существующей системе констант БНАБ.

2. Нейтроны рождаются в результате реакций деления ядер, происходящих во всех энергетических группах. Суммарная плотность рождения нейтронов

Нейтроны, образующиеся при делении, попадают в несколько верхних групп в соответ­ствии с долей спектра деления χ_j приходящейся на g-ю группу. В каждой группе в 1 см³ в 1 сек появляется S_fj = χ_j Q нейтронов.

3. Нейтроны в группе j>l появляются также в результате упругого и неупругого рассеяний. Упругое рассеяние, как правило, пере­водит нейтроны в j‑ю группу из (j-l)-ой. Исключением являются такие замедлители, как водород и дейтерий, способные за одно соударение сбросить энергию нейтрона на несколько групповых энергетических интервалов. Генерация нейтронов за счёт упругого замедления и упругого рассеяния:

- кроме водорода и дейтерия;

- для водорода и дейтерия;

4. Скорость перехода нейтронов в j-ую группу в результате неупругого рассеяния из предыдущих групп k<j определяется сечениями неупругого рассеяния

5. Убыль нейтронов из группы обусловлена их утечкой из единич­ного объёма –D_j ∆Ф_j . и уводом из группы вследствие поглощения Ф_j Σ_aj, упругого замедления Ф_j Σ_sj, и неупругого рас­сеяния . Суммарное сечение увода нейтронов из верхних групп

В группах с энергией ниже пороговой для неупругого рассеяния

С использованием написанного выше составим уравнение балан­са нейтронов в объёме dV = dx dy dz для каждой энергетической группы.

Итак, левая часть уравнения - убыль нейтронов:

- D ∆Фj dV — число нейтронов группы, утекающих ежесекундно из объёма dV;

Ф_j dV - число нейтронов, исчезающих из объёма dV в ре­зультате поглощения и замедления в нижележащие группы.

Правая часть:

S_e,j dV - число нейтронов, попадающих в группу j из верхних групп, за счёт упругого рассеяния;

S_in,j dV -число нейтронов, попадающих в группу у в объём dV из верхних групп, в результате реакций неупругого рассеяния;

S_f,j dV - число нейтронов, попадающих в группу j в объёме dV в результате деления во всех других группах.

Приравнивая правую часть левой и сокращая на dV , получим сис­тему многогрупповых уравнений для группы j:

Решение многогруппового уравнения для однородного реактора.

Запишем многогрупповое уравнение в следующем виде:

,

где источник нейтронов –

Решение системы наиболее просто для однородного реактора, поскольку в этом случае справедливо соотношение

Рассмотрим критический эквивалентный ЯР. Для него вдали от границы для каждой группы справедливо уравнение ЯР:

Полученное выражение подставим в многогрупповое уравнение, проинтегрировав его по всему объему активной зоны, тем самым прейдем от функции пространственного распределения потока нейтронов к интегральным потокам: Ф_i(r)→Ф_i:

Отсюда выразим Ф_i:

Таким образом, система многогрупповых дифференциальных уравнений превращается в систему обычных алгебраических уравнений, из которой может быть найден энергетический спектр интегрального по объему АЗ нейтронного потока.

Решение данной системы осуществляется итерационным методом, начиная с первой группы и задавая значение интегрального источника, равное 1: Q=1 (н/см³∙с).

Полагая в первой итерации Q = 1 н см^-2с^-1, найдём плотность по­тока в первой итерации:

Полученные плотности потоков Ф_j⁽¹⁾ используем для вычисления

- полного числа нейтронов деления, дающих начало второму нейтронному циклу, а для определения К_eff, используем соотношение К_eff =Q₁ / Q₂.

В результате расчетов в рамках первой итерации получим набор интегральных потоков . По полученным данным находим по выражению (2) новое значение интегрального источника Q⁽²⁾. Теперь вновь проводим расчеты интегральных потоков во второй итерации и т.д. Это происходит до тех пор, пока отношение значения источника в следующей итерации к значению источника в предыдущей, являющееся ничем иным как эффективным коэффициентом размножения , не перестает изменяться (в рамках заданной точности). В этом случае полученный набор является искомым спектром интегральных потоков нейтронов. При этом, если полученное значение k_эф не соответствует реакторным параметрам рассчитываемого ЯР, то заданная конструкция ЯР должна быть изменена и вычисления повторены.

Пространственное распределение плотности потока нейтронов в од­нородном реакторе зависит от его геометрической формы и опреде­ляется условиями неотрицательности и условием равенства нулю на внешней экстраполированной границе. Энергетический спектр входит в качестве множителя в пространственную часть. Так, в однородном цилиндрическом реакторе пространствен­но-энергетическое распределение нейтронов по радиусу активной зоны имеет вид

В ( R- Z) - геометрии, с учётом конечной высоты можно записать

Константа А введена для перевода плотностей потоков в абсолют­ные единицы путём нормировки на удельную мощность реактора W_T/V_аз.

Система (3.9) сложна для аналитического решения в многозонном реакторе. Численные методы решения многогрупповой задачи при­менительно к многозонному реактору реализуются в программных комплексах для быстродействующих ЭВМ. Упрощённая работа ал­горитма следующая:

• Задаётся произвольное распределение источников по реактору.

• Численно решается система уравнений и вычисляется распреде­ление плотности потока в 1-ой итерации и в каждой точке определяются

Корректируется первоначальное распределение Q₁(r,z) заме­ной на Q₂(r,z).

• Процесс (итерации) повторяется до получения К_eff = const .