2.4 Ядерный реактор в форме бесконечной пластины с отражателем

Р ассмотрим бесконечно плоский ЯР, состоящий из АЗ толщиной Н и боковых отражателей толщиной Т каждый. Начало координат поместим в плоскость симметрии. Т.к. пластина тонкая, то по физическому смыслу задача является одномерной, т.е. имеет место зависимость потоков только от х. В этом случае уравнения (1) и (2) принимают вид:

для АЗ (3)

для отражателя (4)

Граничные условия имеют вид

(5)

(6)

(7)

При этом потоки нейтронов должны быть конечны и неотрицательны.

Уравнения (3) и (4) представляют собой линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения для (3) являются мнимыми, а корни характеристического уравнения для (4) – действительными и не равными друг другу. Тогда можно записать общие решения:

Ф₁(x) = A₁cos (χ₁x) + C₁ sin (χ₁x) (8)

Ф₂(x) = A₂exp (χ₂x) + C₂exp (–χ₂x) (9)

Так как потоки в АЗ симметричны относительно оси реактора, то решение (8) будет соответствовать условию симметрии, если константа С₁ = 0, тогда окончательно для АЗ распределение потока нейтронов имеет вид:

Ф₁(x) = A₁cos (χ₁x) (10)

Рассмотрим решение (9). В нем выразим экспоненты через гиперболические функции e^x = ch (x) + sh (x), e^–x = ch (x) – sh (x):

Ф₂(x) = A₂ [ch (χ₂x) + sh (χ₂x)] + C₂[ch (χ₂x) – sh (χ₂x)] = M ch (χ₂x) + N sh (χ₂x), (11)

где M= A₂+ C₂, N= A₂ – C₂.

Воспользуемся граничным условием (7). Тогда получаем:

Подставим полученное соотношение в (11):

(12)

Известно, что sh(a–b)=sh(a)ch(b)–ch(a)sh(b). Тогда в (12) числителе выражение в фигурных скобках можно привести к более компактному виду:

, (13)

где .

Таким образом, для ЯР в форме бесконечной пластины распределение потоков нейтронов будут описываться соотношениями (10) и (13):

Ф₁(x) = A₁cos (χ₁x) (10)

, (13)

Для указанных выражений воспользуется граничными условиями (5) и (6) в точке с координатой H/2 (граница раздела АЗ/отражатель). В этом случае условие (5) (равенство потоков) примет вид:

(14)

Реализуем условие (6) (равенство плотностей диффузионных токов):

(15)

Разделим почленно (15) на (14) и получим

(16)

Выражение (16) является условием критичности бесконечно плоского ЯР с отражателем, которое, как и в случае ЯР без отражателя, устанавливает имеет тот же физический смысл: устанавливает в критическом ЯР связь между геометрическими параметрами (Н и Т) и параметрами среды χ₁, χ₂, D₁, D₂. Другими словами с помощью этого условия можно решить любую задачу о критичности: если задан состав АЗ и отражателя (χ₁, χ₂, D₁, D₂), можно определить критические размеры системы; и наоборот.

Тем не менее докажем, что (16) является условием критичности. Очевидно, что в качестве исходного положения для такого доказательства может служить следующее: если в условии (16) мы уберем отражатель (зададим T=0), то должны получить условие критичности бесконечно плоского ЯР без отражателя . Если T=0, правая часть условия (16) начнет стремиться к бесконечности. Тогда (16) примет вид:

Что и требовалось доказать.

Условие критичности (16) позволяет оценить критические размеры отражателя. В правой части этого условия функция гиперболического котангенса при аргументе, равном примерно 2,65, с точностью в 1% равна своему максимальному значению 1, т.е. в этом случае правая часть больше расти не может. Следовательно, для оценок критической толщины отражателя можно воспользоваться условием: χ₂T≈2,65. Так как χ₂=1/М₂, то T≈2,65M₂. Таким образом, оценки показывают, что нет смысла делать отражатель толще, чем 23 длины миграции нейтронов в отражателе. Однако на практике решающими оказываются экономические соображения, и размер отражателя выбирают меньше. Так, например, в ЯР с графитовыми отражателями оценки дают Т=110160 см, реально Т=6080 см.

Как отмечалось, благодаря применению отражателя снижается утечка нейтронов из АЗ, поэтому критические размеры АЗ могут быть уменьшены в ЯР с отражателем. Количественно экономию в размерах АЗ при использовании отражателя определяют с помощью величины, называемой «эффективная добавка за счет отражателя» – δ. По определению это разница между размерами АЗ в реакторе без отражателя и размерами АЗ в реакторе с отражателем.

Рассмотрим бесконечно плоский ЯР. Пусть ЯР в форме бесконечной пластины без отражателя имел критический размер Н₀ (с учетом длины экстраполяции), и с отражателем его критический размер известен – Н. Известно, что Н₀>Н. По определению эффективная добавка за счет отражателя будет равна:

(17)

В критическом ЯР без отражателя материальный параметр равен геометрическому, тогда . В (17) выразим ширину ЯР с отражателем и подставим туда найденное выражение для Н₀: . Теперь это полученное выражение подставим в условие критичности (16)

В аргументе тангенса открываем скобки и получаем

В итоге получаем, что условие критичности принимает вид:

, (18)

отсюда эффективная добавка за счет отражателя равна:

(19)

Если ЯР большой H>>d, в выражении (18) аргумент тангенса мал, а сам тангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения:

, учитывая, что χ₂=1/М₂, получаем:

(20)

Проанализируем (20), рассмотрев предельные случаи.

1. Тонкий отражатель М₂>>T. Тогда аргумент гиперболического тангенса в (20) будет мал, сам гиперболический котангенс можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения . Отсюда , т.е. δ~T. В этом случае величина δ определяется толщиной отражателя.

2. Толстый отражатель М₂<<T, т.е. , следовательно, . Тогда , т.е. δ~M₂. В этом случае величина δ определяется ядерно-физическими свойствами отражателя.

Анализ полученных результатов показал, что при введении отражателя первоначально величина δ растет с ростом толщины отражателя, следовательно Критические размеры АЗ уменьшаются. Достигнув определенной толщины, рост δ прекращается независимо от роста толщины отражателя (прекращается уменьшение критических размеров АЗ). В этом случае роста δ, а значит и уменьшения размеров АЗ, можно добиться, использую другой материал отражателя, у которого выше замедляющие свойства: длина диффузии и возраст.

На основании выше изложенного можно установить алгоритм рассмотрения задач для ЯР различных форм с отражателем в одногрупповом приближении:

• постановка задачи (исходные уравнения, граничные условия);

• решение исходных уравнений и определения функций распределения потоков нейтронов в АЗ и отражателе;

• установление условия критичности (доказательство полученного условия как условия критичности)

• введение эффективной добавки за счет отражателя, ее нахождение с помощью условия критичности;

• анализ величины δ при различных толщинах отражателя.