Системы групповых констант.

В ходе предыдущих рассуждений была получена система групповых уравнений, позволяющая определить распределение потоков нейтронов в объеме ЯР:

Анализируя полученные многогрупповые уравнения, видно, что решение этой задачи невозможно без нахождения коэффициентов уравнений, т.е. групповых констант: , способами усреднения которых внутри группы является следующее: макроскопические сечения взаимодействия усредняются по потоку нейтронов, а коэффициенты диффузии – по Лапласиану потока.

Однако, что истинных ход энергетических зависимостей потоков нейтронов внутри группы не является константой (как постулируется в рамках метода многих групп), особенно в областях, где имеют место резонансы в энергетических зависимостях сечений взаимодействия. В этом случае возникает проблема корректного усреднения сечений. При этом возможно либо выбор очень узких групп, когда потоки нейтронов внутри групп изменяются слабо (хотя и здесь их нельзя принять константой), либо иметь какую-то информацию о зависимости Ф(Е) внутри группы. Последний подход возможен тогда, когда речь идет о конкретном ЯР. В этом случае способ усреднения выбирается таким, чтобы расчет приводил к известному для данного ЯР k_эф. Таким образом, понятно, что расчеты будут очень громоздкими и уже не пригодны для другого ЯР (даже того же типа).

Более привлекательным является случай, когда усреднение проводится по «стандартным» спектрам нейтронов. Тогда полученные групповые константы могут быть использованы для расчетов любых ЯР. Разработка таких систем констант основана на некоторой универсальности нейтронных спектров в ЯР: спектр быстрых нейтронов почти во всех ЯР с той или иной долей точности может быть описан спектром деления, спектр тепловых – спектром Максвелла с поправкой на поглощение и температуру. Наиболее сложен случай для замедляющихся нейтронов, для которых сечения взаимодействия характеризуются резонансами. Для слабо поглощающих сред поглощение нейтронов достаточно слабое, следовательно, можно считать, что плотность потока в шкале летаргий внутри каждой группы постоянна, а в шкале энергий имеет вид: (спектр Ферми). Поэтому для всех групп, кроме верхних, где использовался спектр деления, в качестве «стандартной» формы спектра целесообразно принять форму спектра Ферми. В случае сильного поглощения также можно использовать такой подход. При этом разбиение энергетического интервала надо провести на большое число групп, чтобы внутри каждой не было сильного изменения потока. Однако в области расположения резонанса могут возникнуть неточности при усреднении констант внутри группы. Поэтому в этом случае вводятся специальные поправки на резонансные эффекты.

Таким образом, мы обосновали возможность создания универсальных систем многогрупповых констант, пригодных для расчетов любых ЯР.

Вернемся к многогрупповым уравнениям. Видно, что при строгом подходе усреднению подлежат макроскопические сечения среды. Известно, что . Так как составы различных ЯР различны, то различны и ядерные концентрации входящих в них материалов. Поэтому системы констант, полученные для макроскопических характеристик исключают возможность их универсального использования, они пригодны лишь для конкретного ЯР.

Вместе с тем неизменными для элементов являются микроскопические сечения. Системы многогрупповых микроконстант на основе микроскопических характеристик в принципе способны описать поведение любого реактора.

Если их получить то, зная состав ЯР, можно определить для каждого входящего элемента его групповые микроскопические сечения, а затем, умножив на концентрацию соответствующего элемента, получить макроскопические сечения, которые затем использовать для решения многогрупповых уравнений.

Однако зависимости имеют в некоторых областях ярко выраженную резонансную структуру. Поэтому их усреднение достаточно сложно. С другой стороны, элемент находится в составе среды ЯР вместе с другими элементами. Если его концентрация мала, то влияние на процессы в ЯР его резонансов незначительно, и наоборот. В этом смысле групповые значения микросечений отдельных элементов в смеси являются функциями суммы полных сечений всех других элементов, входящих в состав среды. Другими словами, микросечение отдельного элемента внутри группы зависит не только от энергии нейтрона, но от количества других элементов, а также от величины их микроскопических сечений. Количественно эта зависимость в смеси характеризуется коэффициентом , который по определению есть:

Если концентрация рассматриваемого l-го мала , то коэффициент , и усреднение сечений внутри группы может быть проведено обычными способами по стандартным спектрам без учета резонансов сечений этого элемента. В противном случае необходимо введение поправок на резонансную структуру.

Необходимо заметить, что с ростом температуры резонансные пики уширяются (эффект Доплера). Поэтому температура среды также должна влиять на резонансные эффекты. Тогда величины микроскопического сечения зависит не только от коэффициента , но и от температуры среды: .

Обычно в таблицах систем многогрупповых констант приводятся значения микросечений элементов, ядерная концентрация которых стремится к нулю, т.е. приводятся среднегрупповые значения сечений, полученные путем усреднения по стандартным спектрам. В случае, когда влияние резонансов какого-либо элемента значимо, то необходимы поправки к сечениям, которые также приведены в таблицах и зависят от и температуры.

Свертка групповых констант

Зная спектр интегральных потоков, можно свернуть любое число смежных групп в одну широкую группу, определяя сечения этой новой широкой группы следующим образом:

Свертка групповых констант проводят, как правило, с помощью не только интегральных потоков, но и интегральных ценностей.

Чтобы ввести это понятие, рассмотрим реактор в стационарном состоянии и предположим, что его мощность равна нулю. Пусть в точку с координатой r введено большое число нейтронов с энергией E, перемещающихся в направлении - N (r, E, ). После длительного времени (t→∞) поток нейтронов распределиться в соответствии с функцией, соответствующей геометрии ЯР, амплитуда которой (максимальные значения) будет зависеть от величины N (r, E, ). Тогда ценность нейтронов можно определить как величину, пропорциональную величине потока, отнесенному к одному введенному нейтрону:

~

Влияние координаты и вектора направления на ценность очевидно, так как их значения определяют вероятность утечки. Чем меньше энергия нейтронов, тем нейтроны более ценны с точки зрения их участия в цепной реакции деления, поскольку возрастают сечения деления, уменьшается вероятность их паразитного поглощения и утечки в процессе замедления. В реакторе на тепловых нейтронах наиболее ценные – тепловые нейтроны.

Рассмотрение ценности не имеет никакого физического смысла при одногрупповом подходе, и используется при многогрупповом приближении. Формально (с математической точки зрения) ценность является решением группового уравнения для ценностей, являющегося сопряженным многогрупповому уравнению для потоков нейтронов. Чтобы получить сопряженное уравнение, необходимо исходную систему групповых уравнений (переписанную в необходимом виде)

записать в матричном виде:

MФ = – M₁Ф,

где – матрица-столбец, М и М₁ – матрицы-операторы.

Сопряженное уравнение получается следующим образом. Матрицы M, M₁ и Ф транспонируют, т.е. строки и столбцы меняются местами. Если заменить каждый элемент транспонированной матрицы на комплексно сопряженный, получаем сопряженную матрицу. В случае матриц с действительными элементами сопряженная матрица равна транспонированной.

В итоге можно записать сопряженное уравнение для произвольной i-ой группы:

Решение этого уравнения - есть ценность нейтронов i-ой группы; – источник ценностей нейтронов.

Получение набора интегральных ценностей проводится по аналогии с интегральными потоками:

• используем приближение эквивалентного ЯР;

• исходя из сопряженного уравнения ЯР , в последнем уравнении заменяем на

• интегрируем по объему ЯР полученное выражение, тем самым , тем самым преобразуем систему многогрупповых дифференциальных уравнений в систему обычных алгебраических уравнений, из которой может быть найден спектр интегральной по объему АЗ ценности нейтронов;

• выражаем интегральную ценность нейтронов i-ой группы:

• методом итераций определим необходимый набор интегральных ценностей

Тогда при свертке любого числа смежных групп в одну широкую группу сечения этой новой широкой группы определяются следующим образом:

.

Например, в рамках курсового проекта необходимо перейти от 26-групповой системы констант, являющейся исходной многогрупповой, к 2-групповому уравнению. При этом первые 25 групп сворачиваются в первую группу, а последняя 26 группа становится второй группой. В этом случае получение новых значений сечения любого взаимодействия происходит следующим образом:

I группа – свертка 125 гр.: ; II группа соответствует 26 группе .