2.5. Цилиндрический яр с боковым отражателем в одногрупповом приближении

Р ассмотрим ЯР, представляющий собой АЗ высотой Н (экстраполированный размер) и радиусом R, окруженную боковым отражателем, толщиной Т. Начало координат находится в центре симметрии. Так как на торцах ЯР отсутствует отражатель, то его влияние скажется на радиальную составляющую потоков, т.е. аксиальная составляющая потока будет точно такой, как в случае ЯР без отражателя:

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению функций f₁(r) и f₂(r).

Для функции f(r) запишем уравнения ЯР:

(1)

(2),

где – радиальная составляющая материального параметра АЗ; – радиальная составляющая материального параметра отражателя. Определим эти составляющие.

АЗ: , где – полный материальный параметр АЗ; – аксиальная составляющая материального параметра АЗ. При этом вследствие того, что нет бокового отражателя, аксиальная составляющая материального параметра равна аксиальной составляющей геометрического параметра такого же реактора без отражателя (реактор критический): . Тогда получаем:

. Отсюда видно, что - величина действительная.

По аналогии рассмотрим радиальную составляющую материального параметра отражателя, учтя при этом, что в отражателе нет делящихся материалов (k_∞=0)

. Отсюда видно, что - величина мнимая. Таким образом, исходные уравнения примут вид:

(1)

(3)

Эту систему уравнений необходимо дополнить граничными условиями:

f₂(R₂) = 0, где R₂=R+T (4)

f₁(R) = f₂(R) (5) (равенство потоков на границе АЗ - отражатель)

(6) (равенство диффузионных токов на АЗ - отражатель)

Решение уравнения (1) известно

(7)

Решим уравнение (3). В цилиндрических координатах оно имеет вид:

(8)

Уравнение (8) помножим на r², затем первое слагаемое умножим и разделим на , второе слагаемое - .

(9)

Уравнение (9) – уравнение Бесселя с аргументом . Причем этот аргумент – мнимый. В этом случае решением уравнения Бесселя являются модифицированные функции Бесселя нулевого порядка:

, (10)

где – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента первого рода; – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента второго рода (функция Макдональда).

Для решения (10) воспользуемся граничным условием (4):

, отсюда:

(11)

Подставим (11) в (10) и для потоков в АЗ и отражателе окончательно получим:

(12)

(13)

Для (12) и (13) используем граничные условия (5) и (6):

(14)

(15)

Разделим (15) на (14) и получим:

, (16)

где R₂=R+T.

По аналогии с ЯР в форме пластины докажем, что условие (16) является условием критичности, т.е. если уберем отражатель, условие (16) должно прейти в условие критичности реактора без отражателя: .

Пусть нет отражателя (Т=0). Тогда знаменатель в правой части (16) обращается в 0, а сама правая часть стремится к бесконечности. Тогда

Т.к. функция ограничена при всех х, то указанное условие будет выполняться только при или (первый корень функции Бесселя первого рода нулевого порядка) , что и требовалось доказать.

Как и в случае плоского ЯР введем понятие эффективной добавки за счет отражателя δ = R₀ – R, где R₀ – критический радиус цилиндрического ЯР без отражателя. Выразим R и подставим в левую часть условия критичности (16):

Рассмотрим ЯР, имеющий большие размеры, т.е. радиус велик по сравнению с величиной эффективной добавки δ << R. Тогда разложим (17) в ряд Тейлора по малому параметру , ограничившись первым числом разложения (достаточно сложные математические выкладки опустим).

(17)

С другой стороны в большом реакторе R>>M₂, следовательно, . В этом случае для правой части условия (16) воспользуемся асимптотическим разложением модифицированных функций Бесселя: ; .

Тогда правая часть (16) примет вид:

(18)

В итоге сопоставляя (17) и (18), для больших ЯР получим условие критичности:

(19)

Это выражение с точностью до первых членов разложений совпадает с результатом, полученным для плоского ЯР. Надо заметить, что с уменьшением R необходимо учитывать больше членов разложения вследствие увеличения кривизны поверхности и полученное для δ выражение усложнится. Далее необходимо провести анализ δ при различных толщинах отражателя.

Таким образом, используя рассмотренный алгоритм решения подобных задач, можно решить в одногрупповом приближении задачи о сферическом ЯР с отражателем и о цилиндрическом ЯР с торцевым отражателем.

В заключении необходимо отметить, что все основные соотношения получены в предположении больших размеров ЯР. С уменьшением размеров ЯР точность одногруппового метода падает, т.к. большую роль начинают играть члены, следующие за первым членом разложения в ряды, и их надо учитывать, что приводит к получению сложных выражений.