3. Критические размеры реактора цилиндрической формы

Постановка задачи для определения критических размеров цилиндрического ЯР

Зная состав активной зоны ЯР, мы можем определить материальный параметр, который в критическом ЯР равен геометрическому. Следовательно, если найти связь между геометрическим параметром ЯР и его размерами, то можно определить критические размеры. Величина геометрического параметра В² находится из решения уравнения критического реактора:

Рассмотрим случай цилиндрического ЯР, так как именно такая форма присуща большинству активных зон ЯР, особенно энергетического назначения.

Пусть имеется цилиндрический ЯР, экстраполированные размеры которого равны: радиус R, высота H. Начало координат находится в центре ЯР. В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид:

z

П олагая отсутствие зависимости потоков нейтронов от азимутального угла φ уравнение реактора в данном случае примет вид:

(1)

Граничные условия: Ф(R, z) =0; Ф(r, ±H/2) =0

При этом необходимо отметить, что потоки конечны и неотрицательны.

Уравнение (1) будем решать методом разделения переменных. Пусть

Ф(R, z) = f(r)∙g(z) (2).

Подставим (2) в (1)

, (3)

где , - радиальная составляющая геометрического параметра, - аксиальная составляющая геометрического параметра.

Таким образом, мы разделили переменные r и z.

Решение задачи определения критических размеров цилиндрического ЯР

Уравнение (3) имеет решения только в том случае, когда слагаемые с r и z не зависят от переменных, т.е. равны постоянному числу. Тогда (3) преобразуется к следующему виду:

(4)

(5)

Рассмотрим уравнение (4). Для функции f(r) граничные условия примут вид: f (R)=0. В (4) раскроем скобки и обе части (4) помножим на r²f(r):

В первом слагаемом числитель и знаменатель помножим на ; во втором – на B_r:

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение Бесселя относительно аргумента rB_r (действительный аргумент) и n = 0.

Тогда общее решение уравнения (6) есть суперпозиция функций Бесселя.

f(r)=C₁ J₀(rB_r)+C₂ Y₀(rB_r) (7),

где C₁ и C₂ – константы; J₀(rB_r) - функция Бесселя первого рода 0-го порядка; Y₀(rB_r) - функция Бесселя второго рода 0-го порядка. Известно, что при x→0 функция Y₀(x)→∞. С другой стороны, известно, что поток нейтронов в ЯР должен быть во всем его объеме конечным. Следовательно, чтобы во всех точках ЯР выполнялось условие конечности потока, необходимо в решении (7) константу при функции Y₀(rB_r) приравнять к нулю C₂=0. Тогда окончательно решение уравнения (4) примет вид:

f(r)=C₁ J₀(rB_r) (8)

Определим B_r. Для этого воспользуемся граничными условиями f (R)=0. Функция Бесселя J₀(rB_r) представляет собой гармоническую функцию и является положительной до первого корня (точки, где функция обращается в ноль), затем она принимает отрицательное значение. Тогда из соображений неотрицательности потоков имеем, что RB_r = ξ, где ξ - первый корень функции Бесселя первого рода нулевого порядка, ξ ≈2,405. Таким образом, получаем, что радиальная составляющая геометрического параметра равна:

(9)

Рассмотрим уравнение (5). Помножим обе его части на g(z) и приведем его к следующему виду:

(10)

Граничные условия g(±H/2) =0. Кроме того, физически очевидно, что функция g(z) – симметрична относительно оси z: g(z)= g(–z)

Уравнение (6) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами . Корни этого уравнения комплексные, следовательно, общее решение (10) записывается как:

g(z)=Аcos (B_zz) + Bsin(B_zz) (11)

Из функций, входящих в решение (11) симметричной относительно оси z является функция косинуса. Тогда условие симметрии будет выполняться только в случае, когда константа B в решении (11) равна нулю. Таким образом, окончательное решение уравнения (5) имеет вид:

g(z)=Аcos (B_zz) (12)

Аксиальная составляющая геометрического параметра определяется с помощью заданных граничных условий: g(±H/2) =0.

(13)

Таким образом, окончательно:

(14)

Если положить, что в центре ЯР поток равен Ф₀, то распределение потока нейтронов в критическом гомогенном цилиндрическом ЯР без отражателя в одногрупповом приближении описывается следующей функцией:

(15)

При этом анализ выражения для геометрического параметра в рассматриваемом реакторе показывает, что геометрический параметр действительно связан с геометрическими размерами активной зоны:

(16)

Зная выражение для геометрического параметра и распределение потока нейтронов, можно определить ряд необходимых характеристик критического ЯР.