Многогрупповое уравнение

Многогрупповое уравнение является исходным соотношением для расчета распределения нейтронов в ЯР в рамках метода многих групп. Его получение основано на составление баланса нейтронов, находящихся в точке с координатами r и имеющих энергию Е, т.е. рассматриваются нейтроны в состоянии (r,Е).

Рассмотрим схему размножения нейтронов в 4-хгрупповом приближении (без учета утечки):

Если добавить в эту схему утечку нейтронов, то можно получить следующее балансное уравнение на качественном уровне:

Составим такой баланс сначала на качественном уровне.

Изменение во времени количества нейтронов в состоянии (r,Е)

=

Пространственная утечка нейтронов с энергией Е, т.е. уход из точки с координатой r

–

Замедление нейтронов в точке с координатой r, т.е. изменение энергии Е

+

Приход нейтронов в состояние Е за счет замедления нейтронов с энергией, большей, чем Е, в точке с координатой r

+

Приход нейтронов с состоянием (r,Е) непосредственно из источника нейтронов

Запишем баланс в рамках диффузионного приближения для стационарного случая (левая часть баланса равна нулю):

,

где – вероятность для нейтрона с энергией в результате упругого (el) и неупругого (in) рассеяния замедлиться до энергии Е; , .

Перейдем в шкалу летаргий:

(1)

Д ля (1) используем метод многих групп. Для этого весь энергетический интервал разобьем на конечное число отрезков – m. Первая группа здесь соответствует самым высокоэнергетическим нейтронам спектра деления, а последняя m-ая группа описывает тепловые нейтроны. Заменим уравнение (1) системой групповых уравнений и рассмотрим произвольную i-ую группу, внутри которой летаргия изменяется в диапазоне от u_i-1 до u_i. Для этой группы запишем уравнение баланса (1). Для этого (1) проинтегрируем в пределах от u_i-1 до u_i:

(2)

Видно, что (2) представляет собой сумму четырех интегралов. Рассмотрим каждый интеграл по отдельности.

1) . Так как оператор Лапласа не зависит от летаргии, то:

. Полученное выражение умножим и разделим на . В итоге получим:

Первый множитель согласно теореме о среднем есть среднее значение коэффициента диффузии для нейтронов с летаргией в интервале от u_i-1 до u_i (в группе i) или среднегрупповое значение коэффициента диффузии:

Второй множитель представляет собой интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i-ой группе: (3).

Если учесть, что коэффициент диффузии не зависит от координат, то окончательно получим для первого интеграла следующее:

(4)

2) Рассмотрим второй интеграл в выражении (2): . Записанное выражение умножим и разделим на . В итоге получим:

Первый множитель согласно теореме о среднем есть среднее значение макроскопического сечения полного взаимодействия для нейтронов с летаргией в интервале от u_i-1 до u_i (в группе i) или среднегрупповое значение макроскопического сечения полного взаимодействия:

Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i-ой группе. Тогда для второго интеграла имеем:

Известно, что , тогда

Первое слагаемое в этом выражении показывает количество поглощенных нейтронов группы i, – среднегрупповое значение сечения поглощения. С другой стороны, в результате неупругих и упругих рассеяний нейтрон теряет свою энергию. При этом он может либо перейти в другую группу (с большим значением летаргии или меньшим значением энергии), либо остаться внутри группы i. С этой точки зрения сечение рассеяния можно представить как суперпозицию сечения рассеяния, оставляющего нейтрон внутри группы i – , и сечения замедления нейтрона из группы i в другие группы, начиная от группы i+1 и заканчивая последней группой m вследствие рассеяния – . При этом, в свою очередь, сечение замедления можно представить как суперпозицию сечений замедления, описывающих вероятность перехода нейтрона из группы i в каждую из ниже лежащих групп: . Таким образом, второй интеграл выражения (2) окончательно примет вид:

(5)

3) Рассмотрим третий интеграл в выражении (2): .

В этом выражении заменим порядок интегрирования и учтем, в среде нет нейтронов с энергией большей, чем энергия источника, что соответствует замене в нижнем пределе интегрирования (–∞) на 0:

(6)

Разобьем интервал интегрирования 0÷u на три составляющих 0÷u_i-1, u_i-1÷u_i, u_i÷u.

Первый интервал характеризует рассеяние нейтронов с летаргиями, меньшими, чем летаргия рассматриваемой группы, второй – рассеяние нейтронов самой рассматриваемой группы, третий – рассеяние нейтронов с летаргиями, большими, чем летаргия рассматриваемой группы. При этом согласно (6) все эти нейтроны должны при замедлении попасть в рассматриваемую группу i. Однако из физических соображений ясно, что нейтроны при замедлении не могут приобрести энергию больше той, которую они имели. Тогда замедление нейтронов интервала u_i÷u в группу i невозможно, так как эти нейтроны имеют большую летаргию, а значит меньшую энергию. При этом заметим, что есть интегральная вероятность для нейтрона с произвольной летаргией замедлиться в группу i: . Таким образом, выражение (6) примет вид:

Применим к I₃ метод групп, тогда имеем:

(7)

В первом слагаемом выражения (7) умножим и разделим на . В итоге получим:

Первый множитель согласно теореме о среднем есть средняя вероятность нейтрона k-ой группы замедлиться в i-ую группу:

Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в k-ой группе - .

Во втором слагаемом выражения (7) умножим и разделим на . В итоге получим:

Первый множитель есть средняя вероятность для нейтрона при рассеянии остаться внутри группы i, в принятых обозначениях - . Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в i-ой группе - .

Таким образом, окончательно для третьего интеграла выражения (2) получаем:

(8)

4) Рассмотрим четвертый интеграл в выражении (2):

Этот интеграл характеризует источник нейтронов. В общем случае источник может быть произвольным, но нам интересен случай, когда источником является реакция деления тяжелых ядер, причем деление может инициироваться нейтроном любой энергии. Определим скорость реакции деления, инициируемой нейтроном с летаргией в точке r: .

В каждом акте деления рождается новых нейтронов, причем зависит от энергии нейтрона, вызвавшего деление: . Таким образом, в результате деления ядер нейтронами с летаргией в точке r образуется новых нейтронов. Для того, чтобы получить полное число новых нейтронов, образованных в реакции деления, вызванных нейтронами всех энергий надо проинтегрировать в пределах от энергии нейтронов источника (u=0) до энергий близким к 0 (u=): .

При этом спектр новых нейтронов не моноэнергетический, тогда летаргию u будут иметь не все нейтроны. Если обозначим долю нейтронов деления, имеющих летаргию u, как f(u), то функция источника примет вид:

, а четвертый интеграл в выражении (2):

(9)

К выражению (9) применим многогрупповой подход:

Во втором интеграле полученного выражения умножим и разделим на . В итоге получим:

Согласно теореме о среднем – среднее для группы k значение произведения . Второй множитель в соответствии с (3) есть интегральный по летаргии (энергии) поток нейтронов в k-ой группе - . При этом что – вероятность (доля) для нейтронов спектра деления попасть в группу i.

Окончательно, четвертый интеграл выражения (2) принимает вид:

(10)

Закончив предварительные преобразования, в исходное выражение (2) подставим выражения для всех входящих интегралов (4), (5), (8) и (10).

В данном выражении приведем подобные слагаемые и получим:

(11)

Итак, получена система уравнений, описывающих поведение нейтронов. Видно, что исходные интегро-дифференциальные уравнения (2) свелись к дифференциальным уравнениям (11). При этом в них нет зависимости от вероятностей рассеяния .

Определим физический смысл отдельных слагаемых в (11): первое – пространственная утечка нейтронов группы i вследствие диффузии в единицу времени из единицы объема вблизи точки r; второе – поглощение нейтронов в этом объеме; третье – уход нейтронов из группы i в группы с большим номером (меньшей энергией) в результате упругого и неупругого рассеяния в общем случае ; четвертое – описывает перевод нейтронов из групп с меньшим номером (большей энергии) в результате упругого и неупругого рассеяния в данную группу ; пятое – определяет вклад источника нейтронов (реакция деления) в группу i.

Так как система (11) получена на основе уравнения диффузии, то она справедлива тогда, когда выполняется условия применимости диффузионного приближения: вдали от источников, сильных поглотителей и т.д.

Групповые уравнения (11), справедливые внутри пространственной области с изотропными свойствами, должны быть дополнены граничными условиями. Вид этих условий тот же, что и для уравнения диффузии: на границе раздела сред плотности потоков и плотности диффузионных токов нейтронов равны. Другими словами для системы уравнений (11) необходимо записывать граничные условия для каждого уравнения. Например, если имеется среда «1», граничащая со средой «2», и граница раздела этих сред F, то граничные условия для нейтронов группы i примут вид: ;

Анализируя многогрупповое уравнение (11), можно увидеть способы усреднения констант внутри группы: макроскопические сечения взаимодействия усредняются по потоку нейтронов, а коэффициенты диффузии – по Лапласиану потока.

Полезно записать уравнение (11) для крайних случаев: для первой и последней (тепловой) m-ой группы.

Для группы 1: в эту группу нет прихода нейтронов из других групп за счет рассеяния (это нейтроны с самой большой энергией):

Для последней (тепловой) m-ой группы: из нее нет замедления нейтронов в другие группы, кроме того в спектре деления нет тепловых нейтронов – ε_m = 0:

Система многогрупповых уравнений, описывающая поведение нейтронов:

Еще раз о физическом смысле отдельных членов системы.

Первый член представляет собой утечку нейтронов группы i вследствие диффузии в единицу времени из единицы объема вокруг точки r; второй — поглощение нейтронов в этом объеме; третий — уход нейтронов из группы i во все нижеле­жащие в результате рассеяния (упругого и неупругого). Чет­вертый член описывает «источники рассеяния» — перевод ней­тронов из всех вышележащих групп в данную; последний опре­деляет то количество нейтронов, которое попало непосредст­венно в i-ю группу при делении ядер (источники деления).

И еще раз об обозначениях:

Полное сечение взаимодействия в i-м интервале равно сумме сечений рассеяния , поглощения и выведения нейтронов из данной группы во все нижележащие за счет упругого и не­упругого рассеяния.

Сечение называется сечением увода нейтрона из i-й группы.

Если обозначить сечение перевода нейтрона из группы i в группу k, то

Сечение увода из группы представляет собой сумму реакций поглощения в группе и замедления за счет упругих и неупругих рассеяний, приводящих к тому что нейтрон переходит в низлежащие по энергии группы.