- •1.1 Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- •1.2.Математика как учебный предмет в школе.
- •1.3 Психолого-педагогические основы обучения математики.
- •1.4 Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- •1.6. Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- •1.7 Дидактические принципы обучения школьников математике.
- •1.8 Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- •1.9 Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- •1.10.Методы научного познания в обучении математике
- •1.11 Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- •1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- •1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- •1.15 Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- •1.16 Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- •1.17 Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- •1.18 Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- •1.19 Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- •1.21 Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- •1.22 Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- •1.23 Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- •1.24 Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- •9. Выводы и предложения.
- •1.25 История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
- •2.1 Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- •2.2 Методика изучения подобных треугольников.
- •2.3 Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- •2.4 Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
- •2.5 Методика изучения четырехугольников и их свойства.
- •2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- •2.7 Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.
- •2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.
- •2.9 Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.
- •2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.
- •2.11 Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
- •2.12 Методика введения и изучения рациональных чисел.
- •2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.
- •2.16 Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.
- •2.17 Методика изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств в средней школе.
- •2.18 Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.
- •2.19 Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.
- •2.20 Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.
- •Методика изучения числовых последовательностей и прогрессий.
- •Методика введения и изучения понятия производной в средней школе.
- •Использование свойств тригонометрических функций в курсе математики в средней школы.
- •Методика обучения школьников решению текстовых задач арифметическим методом и методом составления уравнений и неравенств.
- •I. Арифметический метод.
- •II. Алгебраический метод.
- •Методические особенности изучения тригонометрических функций в средней школе. Построение графиков тригонометрических функций.
- •2.26 Использование понятия производной в курсе алгебры средней школы.
1.17 Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
Анализ и синтез при решении задач. Анализ и синтез находят широкое применение при решении математических задач. Напомним, что анализ - это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи. Метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление всех логических возможностей и отбор из них таких, которые удовлетворяют условию задачи. Если логических возможностей, соответствующих условию задачи, - конечное число, то может оказаться возможным перебрать все их и в ходе этого перебора выделить вполне удовлетворяющие условию. С помощью этого приема решаются, в частности, некоторые элементарные задачи теоретико-числового содержания. Метод сведения. Суть его состоит в том, что, данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям. Концом получающейся таким образом цепочки преобразований может быть состояние, простое рассмотрение которого дает требуемый 'результат. Если, например, нужно решить уравнение, то обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, последним звеном которой является уравнение с 'очевидным решением’. Четвертый метод решения задач имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Большое практическое значение имеют методы нахождения приближенных значений искомых величин.
Классификация задач:
По характеру требования: - задачи на доказательство; - задачи на построение; - задачи на вычисление.
По функциональному назначению: - задачи с дидактическими функциями; - задачи с познавательными функциями; - задачи с развивающими функциями.
По величине проблемности :
- стандартные (известны все компоненты задачи); - обучающие (неизвестен один из четырех компонентов задачи); - поисковые (неизвестны два из четырех компонентов задачи); - проблемные (неизвестны три из четырех компонентов задачи).
По методам решения задач: задачи на геометрические преобразования, задачи на векторы и др.
По числу объектов в условии задачи и связей между ними: простые; сложные.
По компонентам учебной деятельности: организационно-действенные; стимулирующие; контрольно-оценочные.
Значительное количество задач предполагает при своем решений не творческую деятельность, а применение в основном определенного правила, формулы, определения, теоремы. Например, для решения любого уравнения первой степени необходимо известные слагаемые перенести в правую часть, а слагаемые, содержащие неизвестные, перенести в левую часть, привести подобные члены и обе части уравнения разделить на коэффициент при неизвестном, если он отличен от нуля. Если он равен нулю, то поступают известным образом.
Приведенное правило - предписание алгоритмического типа, или алгоритм решения линейного уравнения. Правила сравнения чисел, действий над числами в различных числовых множествах, решения линейных, квадратных уравнений, неравенств - все это примеры алгоритмов. Под алгоритмом понимается точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности операций для решения любой из задач, принадлежащих некоторому классу.
Задачи можно разделить на стандартные и нестандартные. Нестандартная задача – это задача, решение которой не является для решающего известной цепью известных действий. Для ее решения учащийся сам должен изобрести (составить, придумать) способ решения. Как производится поиск решения новой, нестандартной задачи? Универсального ответа на этот вопрос нет. Однако в каждой задаче, как в клубке ниток, можно обнаружить ту ниточку, потянув за которую, можно распутать весь клубок. Такой ниточкой является основная идея решения, один из общих методов решения, которые принято называть эвристиками. Эвристиками называются и отдельные методы решения задач, и учение об общих методах поиска решения задач. Эвристический метод-прием решения задачи не является приемом в полном смысле этого слова - системой определенных операций. Это, как уже сказано, основная идея решения задачи. Знание эвристик не дает гарантии того, что будет решена любая задача. Эвристики лишь помогают квалифицированно делать попытки поиска решения. При решении некоторых задач может быть использовано несколько эвристик. Учителю необходимо знание эвристик для того, чтобы помочь учащимся обнаружить их в собственной (учащихся) деятельности, разобраться в сущности методов и научиться ими пользоваться. Приведем примеры наиболее часто используемых эвристик и соответственно задач, которые решаются с их помощью.Наиболее часто используемой эвристикой является метод восходящего анализа - решение задачи с конца, от требования - к условию. Эта эвристика осознанно или неосознанно, в большей или в меньшей степени используется при решении любой задачи. Достаточно универсальной является и другая эвристика - переформулирование. Суть этого эвристического приема заключается в том, что условия или требования, а возможно, то и другое одновременно, заменяются на новые, эквивалентные имеющимся, но позволяющие упростить поиск решения. В простейших случаях переформулировка - это замена термина его содержанием. Метод вспомогательных неизвестных - эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач. Рассматриваемый метод имеет три модификации: когда при замене число переменных или уменьшается, или увеличивается, или остается неизменным. Цепи введения вспомогательных неизвестных при этом различные.
Организация обучения решению математических задач: Фронтальное решение задач. Под фронтальным решением задач обычно понимают решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной. 1) Устное фронтальное решение задач наиболее распространено в IV-VII классах, несколько реже, хотя и находит применение, в старших классах средней школы. 2) Письменное решение задач с записью на классной доске. В практике обучения немало таких ситуаций, в которых удобнее, чтобы одну и ту же задачу решали все ученики класса одновременно с решением этой же задачи на доске. 3) Письменное самостоятельное решение задач. Наиболее эффективной является такая организация решения математических задач, при которой ученики обучаются творчески думать, самостоятельно разбираться в различных вопросах теории и приложений математики. 4) Комментирование решения математических задач. Комментирование решения задач заключается в следующем: все ученики самостоятельно решают одну и ту же задачу, а один из них последовательно поясняет (комментирует) решение.
Индивидуальное решение задач.