2.7 Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.

Определение: Корнем n-ой степени из чиста a называется такое число, n-я степень которого равна a.

Согласно данному определению корень n-ой степени из числа a – это решение уравнения xⁿ=a. Число корней этого уравнения зависит от n и a. Рассмотрим функцию f(x)=xⁿ. Как известно, на промежутке [0; +) эта функция при любом n возрастает и принимает все значения из промежутка [0; +). По теореме о корне уравнение xⁿ=a для любого a [0; +) имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем n-ой степени из числа a и обозначают ; число называют показателем корня, а само число - подкоренным выражением. Знак называют так же радикалом.

Определение: Арифметическим корнем n -ой степени из числа a называют неотрицательное число, n -я степень которого равна a . При четных n функция f(x)=xⁿ четна. Отсюда следует, что если a>0 , то уравнение xⁿ=a ,кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значениях n функция f(x)=xⁿ возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение xⁿ=a имеет один корень при любом a и, в частности, при a<0 . Этот корень для любого значения a обозначают . Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени

из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .

Замечание 1: Для любого действительного

Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа a равен a . Корень второй степени из числа a называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней n -ой степени.

Для любого натурального n , целого k и любых неотрицательных целых чисел a и b справедливы равенства:

1. 2. 3. 4.

5. .

Степень с рациональным показателем.

Выражение aⁿ определено для всех a и n , кроме случая a=0 при n<=0 . Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел a , b и любых целых чисел m и n справедливы равенства: ; ;

Отметим так же, что если , то при и при .

Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное ,называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).

2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.

Первое расширение понятия о числе, кот. учащиеся усваивают после ознакомления с нат-ми числами, - это добавление нуля. Сначала 0 – знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль? Разделить – значит найти . 2 случая: 1) , следовательно, надо найти . Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти . Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

• необходимость новых чисел;

• введение новых чисел;

• сравнение (геометрическая интерпретация);

• действия над числами;

• законы.

В курсе математики 5–6 классов имеет место построение мн-ва рац чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N, 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рац числа (введение отриц чисел)

N, 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рац числа (введение отриц чисел)

N, 0 Десятич дроби Отриц числа Обыкнов дроби Рац числа (целые и дробные, положит и отриц)

N, 0 Целые числа Десятич дроби (положит) Обыкнов дроби (положит) Рац числа (введение отриц чисел)

N, 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отриц чисел)

Методика введения понятия «иррациональное число»

Существует три подхода к введению понятия «иррациональное число».

I. При первом подходе можно выделить 3 основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.

1 . Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу: «Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2». Алгебраической моделью ситуации является уравнение . Решением этого ур-ния (с учетом того, что длина выражается положит числом) является арифметический квадратный корень из 2. Это число. Встает вопрос: «Какому числовому мн-ву принадлежит это число?»

2. Этап введения понятия. Проиллюстрировать этот этап на практике.

Введение понятия «иррац число» завершается расширением мн-ва рац чисел до мн-ва действит чисел, структуру к-го можно изобразить с помощью кругов Эйлера.

3. Этап первичного закрепления. На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых мн-в, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.

II. При 2-м подходе к ведению понятия «иррац число» можно предложить ученикам след задания.

Примеры. 1) Найдите длину отрезка при выбранной единице измерения .

Э та задача иллюстрирует, что процесс измерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.

2) Вычислите длины отрезка, если он составляет единичного отрезка. Ответ. .

3) Приведите геометрич док-во того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно 2. Ответ. Длина диагонали квадрата равна числу, квадрат которого равен 2; при измерении длины диагонали (при условии, что единица измерения – длина стороны данного квадрата) получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.

4) Приведите строгое док-во, что не существует рац числа, квадрат к-го равен двум.

5) Дайте определение иррационального числа.

6) Постройте множество действительных чисел.

III. При 3 подходе можно привести формулировку опред-ия и проиллюстрировать его примерами.

Методика введения понятия «комплекс­ное число»

При первом подходе к введению понятия «комп-ое число» можно воспользоваться след. методикой.

1. Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Утверждается (с привлечением теории геометрии), что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками координатной плоскости. И как следствие: каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, изображаемое некоторой точкой координатной плоскости.

Пара действительных чисел, заданных в определенном порядке, наз. комплексным числом.

2. Выделяется подмн-во изображаемое точками оси абсцисс, которое явл. геометрическим образом мн-ва действительных чисел. Устанавливается соответствие между множеством действ-ых чисел и мн-ом комплексных чисел. Комплексное число вида – действительное число.

Комплексное число вида , где , называется мнимым числом. Комплексное число вида , где , называется чисто мнимым числом. Для числа вида вводятся понятия: (а) – действительная часть комплексного числа, ( ) – мнимая часть комплексного числа.

Далее определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами. И только затем вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи ­комплексного числа и правила выполнения действий с учето­м формы записи.

При подходе Ш.А. Алимова к введению понятия «комплексного числа» рекомендуется следующая методика работы.

1. Мотивационный момент: нахождение корней уравнения ; введение i как значения квадратного корня из – 1.

Комплексными числами наз. выра­жения вида , где а и – действительные числа, а i – не­который символ такой, что .

2. Здесь же опр-тся сопутствующие понятия: дейст­вительная и мнимая части комплексного числа.

3. Далее вводятся действия с комплексными числами в алге­браической форме, дается геометрическая интерпретация комплексного числа, тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Классификация множества комплексных чисел:

Комплексные числа

Действительные числа

Мнимые числа

Рациональные числа

Иррациональные числа

Целые числа

Дробные числа (положительные и отрицательные)

Натуральные числа и 0

Отрицательные целые числа