2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.

Введение начинается с целесообразно подобранной задачи. Например: извлечение квадратного корня из положительного числа, не являющегося полным квадратом; каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1; чему равна сторона квадрата, если известно, что его площадь равна 3.

Практические задачи: задачи измерения; каждой ли точке координатной прямой соответствует рац число?

Изображение чисел на координатной прямой

Покажем, что т. В’ соответствует числу, не явл рацион, т. к. диагональ квадрата ОВ несоизмерима с его стороной ОА

Д-во, что т. В не соотв. никакому рац числу

Т. к. т. В’ находится на ОХ,

От противного: пусть – несократимая дробь. Обе части – неотрицательны, возведем в квадрат, получим: , , => – четное, => – четное. Значит можно представить в виде . Подставим в :

=> , => – четное, – четное. Тогда имеем – четные. Это противоречит тому, что – несократимая дробь. => => не является рациональным числом.

Таким образом, число можно изобразить на координатной прямой некоторым числом, которое не является рациональным. Такие числа называются иррациональными.

2 подход

С другой стороны .

Если натуральное число не есть квадрат некоторого натурального числа, то оно есть квадрат иррационального числа. Таким образом, – иррациональное число.

3 подход

Иррациональные числа – есть бесконечные десятичные непериодические дроби. Так как нельзя извлечь нацело есть бесконечная десятичная непериодическая дробь есть число иррациональное.

4 подход

Рассмотрим приближенное значение с недостатком и с избытком:

С недостатком: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142

С избытком: 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143

Объединим эти последовательности: 1,4< 1,41< 1,414 <1,4142 < < 1,4143 < 1,415 < 1,42 < 1,5

Докажем, что границей или пределом последовательностей является некоторое иррациональное число.

Пусть границей явл , с другой стороны границей явл несократимая дробь .

Таким образом, на границе последовательности, представляющей квадраты членов, последовательности приближений с недостатком и с избытком находится с одной стороны число 2, а с другой - , причем => данную последовательность определяют два числа, не равные между собой, а это невозможно => последовательности определяют единственное число .

Действия над иррациональными числами

1) сравнение (можно как десятичные дроби, сравнивая кол-во единиц в соответствующих разрядах, можно как квадраты корней)

2) сложение, вычитание, умножение, деление (нельзя выполнять как с десятичными дробями)

Часто иррациональные числа как бесконечные десятичные дроби заменяют их приближенными значениями, и результаты действий находят по правилам приближенных значений.

2.14 Методика изучения процентов. Основные задачи на проценты в школьном курсе математики.

Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научиться решать основные задачи на проценты, представлять их в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Традиционно тема «Проценты» изучается в рамках младших классов среднего звена. Можно выделить несколько подходов к изучению данной темы.

Первый подход. Рассмотрение процентов ведется как отдельная тема, без опоры на дроби. Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия. Изучение дробей ведется отдельной темой, гораздо позже задач на проценты. Таким образом, обучение идет от частного к общему, что менее эффективно и дает меньше возможностей для развития обучаемого.

Второй подход. Задачи на проценты осваиваются как частный случай задач на дроби и все приемы решения переносятся на них, то есть изучение идет от общего случая - задач на дроби, к частному. В большинстве современных учебников реализован второй подход.

Рассматриваются три основные задачи на проценты:

Задача вида К1.

Пример 1: Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день?

Решение:

120 м составляет 100%

1) 120:100 =1,2 м составляет 1%.

2) м отремонтировано бригадой за день.

Ответ: За день бригада отремонтировала 48 м дороги.

Задача вида К2.

Пример 2: Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

Решение:

Неизвестное число - 100%.

1) 72:30=2,4 страницы составляет 1%.

2) страниц составляет 100%.

Ответ: В книге 240 страниц.

Задача вида П1.

Пример 3: В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу?

Решение:

40 учащихся составляют 100%.

1) 40:100=0,4 составляет 1%.

2) 32:0,4=80; 32 ученика составляют 80%.

Ответ: 80% учащихся правильно решили задачу.

15. Методика изучения тождественных преобразований.

Процесс формирования навыков тождественных преобразований выражений достаточно сложный и требует от учителя большой и кропотливой работы. В этом процессе можно выделить три основных этапа:

1) запоминание алгоритма учащимися и его непосредственное применение;

2) применение нового алгоритма в совокупности с другими ранее известными алгоритмами преобразований;

3) решение широкого круга задач с использованием нового алгоритма.

Поясним на примере изучения формулы сокращенного умножения разности двух выражений на их сумму.

1-й этап - запоминание формулы и соответствующей ей словесной формулировки, а так же непосредственное применение этой формулы к упрощению таких выражений как .

На этом этапе необходимо добиваться от учащихся понимания того, что результат преобразования выражения не зависит от порядка сомножителей в произведении и от порядка слагаемых в сумме, а определяется разностью выражений.

2-й этап состоит в формировании умения применять формулу в сочетании с другими тождественными преобразованиями. Это прежде всего касаться применения изученной формулы параллельно с использованием свойств степенней с натуральным показателем.

Например, .

Более высокая ступень сформированности навыка на 2-м этапе связана с умением применять изученную формулу в сочетание со сложением, вычитанием и умножением многочленов, с другими формулами сокращенного умножения.

3-й этап формирования навыка выполнения преобразований по формуле сводится к выработке умения применять новую формулу при решении уравнений, неравенств и их систем, при исследовании функций, в задачах на делимость и т.д. Например, доказать, что .

Каждый этап формирования навыков тождественных преобразований выражений имеет свою специфику и связан с определенными методическими трудностями.