- •1.1 Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- •1.2.Математика как учебный предмет в школе.
- •1.3 Психолого-педагогические основы обучения математики.
- •1.4 Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- •1.6. Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- •1.7 Дидактические принципы обучения школьников математике.
- •1.8 Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- •1.9 Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- •1.10.Методы научного познания в обучении математике
- •1.11 Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- •1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- •1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- •1.15 Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- •1.16 Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- •1.17 Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- •1.18 Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- •1.19 Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- •1.21 Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- •1.22 Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- •1.23 Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- •1.24 Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- •9. Выводы и предложения.
- •1.25 История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
- •2.1 Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- •2.2 Методика изучения подобных треугольников.
- •2.3 Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- •2.4 Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
- •2.5 Методика изучения четырехугольников и их свойства.
- •2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- •2.7 Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.
- •2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.
- •2.9 Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.
- •2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.
- •2.11 Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
- •2.12 Методика введения и изучения рациональных чисел.
- •2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.
- •2.16 Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.
- •2.17 Методика изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств в средней школе.
- •2.18 Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.
- •2.19 Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.
- •2.20 Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.
- •Методика изучения числовых последовательностей и прогрессий.
- •Методика введения и изучения понятия производной в средней школе.
- •Использование свойств тригонометрических функций в курсе математики в средней школы.
- •Методика обучения школьников решению текстовых задач арифметическим методом и методом составления уравнений и неравенств.
- •I. Арифметический метод.
- •II. Алгебраический метод.
- •Методические особенности изучения тригонометрических функций в средней школе. Построение графиков тригонометрических функций.
- •2.26 Использование понятия производной в курсе алгебры средней школы.
1.11 Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
Заключительный этап формирования понятия – его определение, т.е. принятие условного соглашения. Под определением понимается перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение (речевое или символическое).
Классификация понятий: Понятие считается составным, если оно опирается на другие понятия, и элементарным в противном случае.
1) через ближайший род и видовые отличие (ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны);
2) конструктивные (генетические) – показан способ конструирования объектов, принадлежащих данному понятию (окружность, биссектриса, осевая и центральная симметрия);
3) определение — условное соглашение (используются в школьном курсе математики при расширении понятия числа:);
4) индуктивные (рекуррентные) – указываются базисные понятия некоторого класса и правила получения новых объектов этого же класса (арифметическая прогрессия);
5) отрицательные (определение параллельных прямых);
6) аксиоматические или косвенные (через систему аксиом; длина, площадь, объем).
Под математическим понятием будем подразумевать систему логически взаимосвязанных упорядоченных суждений, высказанных о некотором математическом объекте. Эти суждения называются свойствами и признаками понятия и составляют его содержание. Формирование конкретного понятия тесно связано с усвоением учащимися соответствующего математического объекта и возникновением общего представления о нем. Усвоить понятие — значит, усвоить систему знаний о некотором объекте и научиться использовать их в деятельности. Поэтому при изучении основных понятий курса математики в средней школе необходимо своевременно устанавливать, преобразуется ли сообщаемая учащимся информация в знания, основанные на долговременном запоминании, а не оперативном, как это часто бывает. Это важно потому, что в школе закладывается основной понятийный аппарат, на базе которого впоследствии будут строиться более сложные математические теории.
Исходя из этого перед учителем математики стоят две задачи.
Первая – правильно формировать математические понятия.
Вторая – делать экспертную оценку сформированности понятийного аппарата изученных тем.
1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие — значит перечислить его существенные свойства.
Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».
Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется — знаковое выражение (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им. С помощью номинальных определений вводят новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже введенного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выражений «Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х, что х2=а».
Индуктивными и контекстуальные. Например, по индукции вводится определение натурального числа в математике.
Определения исходных понятий, которые даются посредством исходных понятий некоторой теории через ее аксиомы, — это аксиоматические определения.
Определения через род и видовые отличия. Это классические определения, которые можно рассматривать как частный вид номинальных определений. В них определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат — прямоугольник с равными сторонами»; «Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны»;
В школьном курсе математики через род и видовое отличие определяются: Длина ломаной. Периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата). Квадрат. Куб. Круг. Радиус окружности (круга). Биссектриса угла. Развернутый угол. Прямой угол. Градус. Острый угол. Тупой угол. Виды треугольников по величине углов. Фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии). Перпендикулярные и параллельные прямые.
Генетические определения - определения, в которых описывается или указывается способ его происхождения, образования, возникновения, построения. Они представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия. Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра»; «Шар — это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра».
В школьном курсе математики можно выделить следующие генетические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний треугольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга.
Остенсивные определения - определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия — это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением.
Определение считается корректным, если выполняются два условия:
1. отсутствует порочный круг и связанная с ним возможность исключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»);
2. отсутствует омонимия: каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.