1.15 Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой. Во всякой теореме можно выделить разъяснительную часть, условие и заключение. Итак, структуру теоремы представляем следующим образом: PI "если А, то В", где P означает разъяснительную часть, А - условие, а В - заключение теоремы.

Виды теорем:

1) Из А следует Б. (a=>b) -прямое утверждение.

2) Из Б следует А. (b=>a) - обратное утверждение .

3) Из не А следует не Б. ( ) противоположное утверждение.

4) Из не Б следует не А. ( ) контрапозитивное утверждение.

Если импликация P=>Q является теоремой, то : условие P называется достаточным условием для условия Q, а условие Q – необходимым условием для условия P.

Если теоремами являются импликации P => Q и Q=> P, то каждое из условий является необходимым и достаточным для другого.

Этапы работы с теоремой в школе

Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания;

Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, мотивация необходимости изучения факта;

Введение формулировки теоремы и осуществление ее доказательства - первичное усвоение факта и его доказательства учащимися;

Применение теоремы в качестве аргумента при выводе следствий.

Этапы изучения теоремы учащимися

Мотивация изучения, Ознакомление с фактом, отраженным в теореме, Формулировка теоремы,

Усвоение содержания теоремы, ее структуры. Ознакомление со способом доказательства,

Доказательство теоремы, Применение теоремы, Установление связи с другими теоремами

Методы введения теоремы

Система задач на усвоение теоремы и ее доказательства

На раскрытие необходимости знания математического факта, сформулированного в теореме;

На актуализацию фактов, используемых при доказательств и способов доказательств, аналогичных используемым для данной теоремы;

На осознание факта, сформулированного в теореме;

На усвоение формулировки;

На усвоение отдельных этапов доказательства;

На повторение хода доказательства (например, на других чертежах);

На отыскание другого способа доказательства;

На применение теоремы для получения новых математических фактов (следствий);

На применение теоремы для решения других задач на вычисление, построение и доказательства.

Виды формулировок теорем: категорическая и условная (импликативная).

Структура формулировки: условие, заключение, разъяснительная часть.

Логическая структура условия и заключения: конъюнктивная, дизъюнктивная.

Примеры

1. Теорема "Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят его углы пополам, то этот параллелограмм - ромб" имеет структуру А V В => C, где А - "диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны"; В - "(диагонали параллелограмма) делят его углы пополам"; С - "этот параллелограмм - ромб".

2. Теорема о средней линии трапеции имеет структуру: А => В & С, где А - "четырехугольник - трапеция"; В - "его средняя линия параллельна основаниям"; С - "(его средняя линия) равна полусумме оснований".

Часто в формулировках теорем используется выражение "необходимо и достаточно" (ПРИЗНАК). В логике это выражение соответствует эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух импликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, доказывающую НЕОБХОДИМОСТЬ признака, другая выражает теорему, доказывающую ДОСТАТОЧНОСТЬ признака. Например, признак перпендикулярности двух плоскостей:

"Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны, НЕОБХОДИМО и ДОСТАТОЧНО, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой", может быть сформулирован и так: "Две плоскости перпендикулярны, ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой":

А <=> В или (А => B) & (B =>A).\