- •1.1 Предмет, цели и задачи методики преподавания математики и ее связи с другими науками.
- •1.2.Математика как учебный предмет в школе.
- •1.3 Психолого-педагогические основы обучения математики.
- •1.4 Воспитание учащихся в процессе обучения математике. Развитие познавательного интереса школьников при обучении математике.
- •1.6. Проблема интеграции школьного курса математики и пути её решения.
- •1.7 Дидактические принципы обучения школьников математике.
- •1.8 Развивающее обучение. Принципы развивающего обучения.
- •1.9 Общие дидактические методы обучения школьников математике. Классификация методов обучения.
- •1.10.Методы научного познания в обучении математике
- •1.11 Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.
- •1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.
- •1.13. Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.
- •1.15 Структура теорем. Виды теорем. Методика изучения теорем в школьном курсе математики.
- •1.16 Сущность понятия «доказательства». Методы доказательства теорем.
- •1.17 Общие методы решения математических задач. Классификация задач. Роль алгоритмов и эвристик в обучении решению задач. Организация обучения решению математических задач.
- •1.18 Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.
- •1.19 Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.
- •1.21 Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.
- •1.22 Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.
- •1.23 Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.
- •1.24 Анализ урока математики. Его роль в интенсификации учебного процесса.
- •9. Выводы и предложения.
- •1.25 История развития методики преподавания математики. Основные противоречия процесса обучения математике. Актуальные проблемы методики преподавания математики.
- •2.1 Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- •2.2 Методика изучения подобных треугольников.
- •2.3 Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- •2.4 Методика изучения понятия равенства фигур. Доказательство первых теорем планиметрии. Признаки равенства треугольников.
- •2.5 Методика изучения четырехугольников и их свойства.
- •2.6 Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- •2.7 Обобщение понятия степени в школьном курсе математики.
- •2.8 Исторические и логические последовательности изучения числовых множеств. Общий принцип расширения числовых множеств. Общая схема изучения новых чисел.
- •2.9 Методика повторения и дальнейшего изучения натуральных чисел. Изучение обыкновенных и десятичных дробей.
- •2.10 Методика изучения тригонометрических функций в курсе планиметрии.
- •2.11 Методика изучения показательной и логарифмической функций в средней школе.
- •2.12 Методика введения и изучения рациональных чисел.
- •2.13 Методика введения и изучения иррациональных чисел.
- •2.16 Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в средней школе.
- •2.17 Методика изучения показательных и логарифмических уравнений и неравенств в средней школе.
- •2.18 Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.
- •2.19 Методика изучения неравенств и их систем в средней школе. Метод интервалов при решении неравенств.
- •2.20 Методика изучения функций. Понятие функций. Возможная методическая схема изучения функций в базовой школе. Методика изучения алгебраических функций.
- •Методика изучения числовых последовательностей и прогрессий.
- •Методика введения и изучения понятия производной в средней школе.
- •Использование свойств тригонометрических функций в курсе математики в средней школы.
- •Методика обучения школьников решению текстовых задач арифметическим методом и методом составления уравнений и неравенств.
- •I. Арифметический метод.
- •II. Алгебраический метод.
- •Методические особенности изучения тригонометрических функций в средней школе. Построение графиков тригонометрических функций.
- •2.26 Использование понятия производной в курсе алгебры средней школы.
2.18 Методика изучения уравнений и их систем в средней школе. Равносильность уравнений. Алгебраические уравнения и их системы.
Пусть функции и определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения , для которых выполняется равенство: = .
При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем.
Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.
Множество называется множеством решений, а всякое его решение - корнем данного уравнения
Решить уравнение, – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
Основная теорема алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени в области комплексных чисел имеет корней.
Основные правила преобразования уравнения в равносильное ему:
· Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
· Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число;
· Если уравнение имеет вид , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения =0, если они существуют;
· Уравнение вида можно заменить равносильной системой или решить уравнение =0, а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель ;
· Уравнение считается решенным неверно как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.
Теорема о неэквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область определения, то уравнения = и 2= 2 не обязательно являются эквивалентными в этой области.
Теорема об эквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область определения и для каждого значения переменной из области эти функции принимают неотрицательные значения, то уравнения = и 2= 2 являются эквивалентными области .
Некоторые типы уравнений и их корни
Линейное уравнение |
|
, - любое число |
Уравнение имеет единственный корень, определяемый формулой x=-b/a |
|
Уравнение имеет бесконечное множество корней, – любое число служит его корнем |
, |
Уравнение корней не имеет, – ни одно число не может обратить его в справедливое равенство |
Квадратное уравнение , дискриминант |
||
|
|
|
|
|
Среди действительных чисел корней нет |
Приведенное квадратное уравнение , дискриминант |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
Среди действительных чисел корней нет |
|
|||||
|
|
|
|
|
В некоторых случаях может быть эффективным метод разложения левой части уравнения: =0 на множители:
|
|
|
Иррациональным называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком радикала. Чтобы решить иррациональное уравнение, чаще всего приходится возводить его в степень, при этом нет никакой гарантии, что такого рода действия преобразуют данное уравнение в уравнение ему равносильное. Найдя корни этого уравнения, мы обязаны проверить, не являются ли они посторонними.
Два уравнения вида:
для которых ищется общее решение, образуют систему уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Аналогично для любой системы алгебраических уравнений:
Две системы уравнений называют эквивалентными, если всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, или если обе системы не имеют решений.
Существует три основных способа решения систем алгебраических уравнений: графический, метод подстановки и метод сложения.