1. Постановка и пример задачи автоматичес-кого управления для непрерывных динамичес-ких систем. Задачи Больца, Лагранжа, Майера.

Управляемый процесс в каждый момент времени t характеризуется m-мерным вектором состояний объекта управления, а управляющее воздействие, прилагаемое к объекту управления, характеризуется r-мерным вектором . Зависимость между этими переменными в течение некоторого интервала времени описывается системой стохастических дифференциальных уравнений вида , , где f(…) – m-мерная неслучайная вектор-функция своих аргументов; g(x,t) – матричная функция размера ; ξ(t)-1-мерный случайный процесс с известными вероятностными характеристиками.

Допущения относительно характера модели поведения объекта.

1. Начальное значение является случайной величиной, распределенной по закону .

2. При фиксированных реализациях ξ(t) решение уравнения вида , существует и единственно.

3. Управление u(t) принадлежит к классу допустимых, то есть u(t) – кусочно-непрерывная функция и ее значения принадлежат некоторому множеству

4. Процесс ξ(t) является производной процесса с независимыми приращениями, что обеспечивает марковский характер процесса x(t). В качестве ξ(t) чаще всего рассматривается белый гауссовский шум.

Если ξ(t)=0, то объект управления называется детерминированным, в противном случае – стохастическим. Как частный случай рассматриваются линейные системы, описываемые дифференциальными уравнениями вида где A, B, C – матрицы известного вида и соответствующей размерности, которые могут также зависеть от времени. Канал наблюдения описывается соотношением вида z(t)=h(t,x)+v(t,x), z(t), n--мерный вектор результатов наблюдения за состоянием объекта управления; h(t,x) - n-мерная неслучайная вектор-функция; v(t,x) –n-мерный случайный процесс (шум наблюдений) с известными вероятностными характеристиками.

Вектор z(t) в формуле z(t)=h(t,x)+v(t,x) называют вектором наблюдаемых параметров, в отличие от вектора x(t), который называют вектором управляемых параметров. Допущения для модели канала наблюдения.

1. Функция h(t,x) – ограничена и однозначна.

2. Процесс v(x,t) является производной процесса с независимыми приращениями и {x(t), z(t)} образуют совместно марковский процесс.

Канал наблюдений называют «обратной связью». Если , то говорят, что реализуется детерминированная обратная связь. Если , то в наличии полная обратная связь. Если , то такая связь называется неполной. при реализуется стохастическая обратная связь. При построении оптимального управления всегда важно знать, какая именно информация доступна управляющей стороне.

Если фазовый вектор x(t) полностью недоступен для наблюдения, то управление, реализуемое в этом случае, зависит только от времени и называется программным или П-управлением. Если x(t) известен точно, то оптимальное управление должно быть найдено в классе функций, зависящих как от x, так и от t, то есть u=u(t,x(t)). Такое управление называется С-управлением (синтезируемым или ситуативным управлением). Линейный канал наблюдения z(t)=h(t)x(t)+v(t), где h(t) – матричная функция размера , элементы которой, равно как и процесс v(t), не зависят от x. Канал управления является безынерционным элементом, поэтому его работу можно описать соотношением вида

, – сигнал, вырабатываемый управляющим устройством;

– помехи, действующие в канале управления, которые приводят к искажению управления (вместо воздействуетu(t)). Если в последнее уравнение подставить в , , переобозначить на u и выделить и ξ в новый процессξ, то сугубо формально можно объединить объект управления и канал управления в один блок и считать, что управление u(t) вырабатывается управляющей системой без искажения. Поэтому далее канал управления отдельно рассматриваться не будет.

Таким образом, в задачах оптимального управления предполагается, что известны: уравнения, описывающие изменение во времени управляемых и наблюдаемых параметров;

вероятностные характеристики входящих в эти уравнения случайных процессов и распределения начальных значений параметров; реализации , полученные в предшествующие моменты времени для каждого t, то есть на интервале .

Нужно построить такое управление u(t) как некоторый функционал , при котором минимизируется среднее значение функционала потерь (или максимизируется среднее значение функционала качества), то есть целевого функционала, определяемого следующим образом: , где – заданные неотрицательно определенные функции.Если , , то рассматривается задача синтеза управления в детерминированной системе, для которой минимизируется непосредственно функционал J без проведения операции усреднения.Задача Больца (смешанное управление: .

Задача Лагранжа (интегральное управление: ). Задача Майера (терминальное управление: . Задача быстродействия ( ).