2. Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.

Для решения линейно-квадратичной задачи управления требуется найти оценку текущего состояния объекта управления, обладающую рядом свойств:

• рекуррентность алгоритма получения оценки;

• ортогональность ошибки оценки и самой оценки;

• оптимальность в смысле минимума дисперсии ошибки.

Решение подобной задачи осуществляется методами теории оптимальной фильтрации. Общая постановка задачи в дискретном времени. Пусть заданы два уравнения: состояний и наблюдений , , , . Требуется по полученной совокупности наблюдений за k шагов получить апостериорную оптимальную в среднеквадратичном оценку путем вычисления апостериорной плотности .

Такая оценка является экстраполяцией состояния объекта на один шаг вперед. Иногда рассматри-вают оценку (оценка вида «точка в точке»), основой получения которой является апостери-орная плотность распределения . В качестве показателя оптимальности некоторой используемой оценки рассматривается

] , где N - симметричная, положительно определенная матрица. Если , то . Оценка называется оптимальной в среднеквадратичном, если она обеспечивает минимизацию величины . Дифференцируя внутренний интеграл по компонентам , получим необходимое условие минимума

=0. Отсюда . Оптимальная оценка в среднеквадратичном есть апостериорное математическое ожидание вектора относительно полученных наблюдений . Общая методика нахождения апостериорной плотности распределения вероятностей. Пусть на некотором шаге известна плотность . Тогда в соответствии с формулой Байеса плотность на следующем шаге имеет вид ,

. Учтем, что при известном для используемых моделей состо-яний и наблюдений

. Это означает марковский характер эволюции процесса и совместно марковский характер процессов . Если известна начальная плотность , приведенные уравнения позволяют получить рекуррентное выражение для апостериорной плотности текущего состояния и, соответ-ственно, оптимальную оценку . Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации. Пусть Пусть законы распределения шумов , а также начального вектора являются гауссовскими , – независимые в дискретном времени, друг относительно друга и величины.Требуется найти оптимальную в среднеквадратичном оценку в задаче линейной фильтрации (фильтр Калмана-Бьюси в дискретном времени). Плотность при высказанных предположениях имеет гауссовский вид , – матрица ковариации ошибки – отклонения от условного среднего . Действительно, каждый вектор есть сумма двух гауссовских величин и . Поэтому плотность распределения совокупности является совместно гауссовской. В теории вероятностей показано, что в этом случае образу-ющие ее условные плотности распределения вероятностей также являются гауссовскими.

Контрольно-измерительный материал № 3