- •Определение систем в рамках теоретико - множественного подхода. Математические модели простых динамических систем.
- •Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.
- •Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Классификация систем управления. Основ-ные этапы синтеза сложных систем управления.
- •Метод анализа иерархий.
- •Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
- •Иерархическая схема управления сложным объектом. Основные принципы иерархического управления.
- •Управляемость и наблюдаемость систем управления.
- •Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Постановка и пример задачи автоматичес-кого управления для непрерывных динамичес-ких систем. Задачи Больца, Лагранжа, Майера.
- •Метод анализа иерархий.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминиро-ванной системы на основе методов вариации-онного исчисления.
- •Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Управление ресурсами и задача линейного программирования. Примеры, геометрическая интерпретация.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода
- •2.Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Метод анализа иерархий.
- •2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминированной системы на основе методов вариационного исчисления.
- •2. Оптимальное управление в стохастических системах. Принцип разделения в непрерывных стохастических системах.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Уравнения фильтра Калмана в дискретном времени. Пример постановки задачи стохастического управления (управление нефтехранилищем).
- •Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •2. Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии при переводе материальной точки в начало координат.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии (задача о «лифте»).
- •2. Применение микропроцессоров и микро – эвм в цифровых системах управления.
2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
Главное достоинство цифровых систем управления состоит в возможности реализации любых, сколь угодно сложных, алгоритмов управления, а также адаптации и коррекции управления с учетом изменения внешних условий. Математические модели поведения простых объектов управления в цифровых системах описываются в дискретном времени на основе разностных линейных и нелинейных уравнений.
Система включает две основные части: объект управления и управляющую ЭВМ одного из перечисленных выше классов. В состав ЭВМ входят:
АЦП – аналогово-цифровой преобразователь непрерывных сигналов наблюдения за состоянием объекта в дискретную во времени последователь-ность чисел , где – период формирования последовательности (интервал дискретизации); ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь дискретной во времени последовательности выходных команд управления в непре-рывный во времени сигнал управления ;
процессор, реализующий выполнение управляя-ющей программы с учетом текущих данных наблюдения за состоянием объекта управления и априорных данных о модели его поведения;
таймер синхронизации работы системы в реальном времени.
ЭВМ функционирует последовательно в режиме разделения времени и обслуживает отдельные каналы управления различными объектами. Каждый из этих каналов имеет в общем случае свою периодичность дискретизации процессов и свою временную диаграмму обслуживания различных объектов управления. Процесс преобразования сигналов в АЦП и в ЦАП сопровождается их квантованием по уровню – в замене мгновенного значения непрерывнозначной величины (уровня сигнала) ближайшим разрешенным дискретным значением. При равномерном квантовании в АЦП возникают ошибки, определяемые соотношением , n– разрядность представления данных в АЦП; – число уровней квантования; – расстояние между ближайшими уровнями – цена разряда; – диапазон значений амплитуды входного сигнала .При .При выполнении обратного преобразования в ЦАП ошибка определяется следующим образом:
, r – разрядность представления данных управления на выходе ЦАП; – максимальный уровень выходного сигнала, определяющий диапазон возможных значений . Таким образом, главная особенность системы управления с ЭВМ состоит в том, что процесс наблюдения осуществляется в дискретные моменты времени с дополнительной погрешностью канала наблюдения, вносимой шумом (ошибкой) квантования, которой при большой разрядности АЦП можно пренебречь. Условия эквивалентности непрерывных (аналоговых) и дискретных (цифровых) систем управления. Пусть имеется непрерывная детерминированная система, описываемая уравнениями
Предположим, что изменение матриц A(t), B(t), h(t) во времени имеет существенно медленный по сравнению с интервалом дискретизации характер
. В цифровой системе исходный управляющий сигнал имеет дискретный во времени характер . Соответственно на выходе ЦАП формируется непрерывный по времени сигнал ступенчатого вида. Тогда для фиксированного в момент начального состояния x( ) объекта управления текущее состояние в интервале между и можно получить как решение дифференциального уравнения в виде
Где – фундаментальная матрица решения соответствующего однородного уравнения. С учетом того, что не изменяется на интервале и, проводя замену , получим ,
Если работа АЦП и ЦАП синхронизирована во времени с помощью таймера, а время преобразования в них незначительно то можно считать, что процессы и z дискретизируются в одни и те же моменты времени. В результате вместо непрерывной получаем эквивалентную дискретную систему описываемую стандартными уравнениями
,
; . Полученное разностное уравнение является точным для моментов дискретизации процессов во времени, так как оно дает при этом точные значения переменных, описывающих состояния и наблюдения. При выполнении указанных технических условий (синхронизации) для существования эквивалентной цифровой системы управления требуется, чтобы существовала невырожденная матрица
которая не имела бы отрицательных собственных чисел. В противном случае логарифм не существует и нельзя получить взаимно-однозначные отображения непрерывной и дискретной системы. Одновременно эти же условия гарантируют единственность решения для матрицы .
. Аналогичным образом определяется возможность построения эквивалентной цифровой линейной системы при наличии возмущений состояния и шумов наблюдения. При малых интервалах дискретизации цифровая система управления может быть получена из аналоговой путем замены функциональных преобразований, описывающих формирование управления u(t) как сигнала в непрерывном времени, их дискретными эквивалентами. Так, для линейного ПИД-регулятора, реализующего преобразования наиболее общего вида, может быть получен его цифровой эквивалент следующим образом. уравнение ПИД-регулятора имеет вид
, где e(t) – сигнал ошибки рассогласования. Заменяя производную первой разностью, а интеграл по методу прямоугольников – суммой, получим
,
. При больших значениях интервала дискретизации подобная аппроксимация непрерывных регуляторов становится неадекватной и реализуются другие подходы к синтезу цифровых регуляторов.
Контрольно-измерительный материал № 16