- •Определение систем в рамках теоретико - множественного подхода. Математические модели простых динамических систем.
- •Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.
- •Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Классификация систем управления. Основ-ные этапы синтеза сложных систем управления.
- •Метод анализа иерархий.
- •Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
- •Иерархическая схема управления сложным объектом. Основные принципы иерархического управления.
- •Управляемость и наблюдаемость систем управления.
- •Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Постановка и пример задачи автоматичес-кого управления для непрерывных динамичес-ких систем. Задачи Больца, Лагранжа, Майера.
- •Метод анализа иерархий.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминиро-ванной системы на основе методов вариации-онного исчисления.
- •Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Управление ресурсами и задача линейного программирования. Примеры, геометрическая интерпретация.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода
- •2.Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Метод анализа иерархий.
- •2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминированной системы на основе методов вариационного исчисления.
- •2. Оптимальное управление в стохастических системах. Принцип разделения в непрерывных стохастических системах.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Уравнения фильтра Калмана в дискретном времени. Пример постановки задачи стохастического управления (управление нефтехранилищем).
- •Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •2. Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии при переводе материальной точки в начало координат.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии (задача о «лифте»).
- •2. Применение микропроцессоров и микро – эвм в цифровых системах управления.
Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.
Рассмотрим синтез оптимального управления для линейной стохастической системы ,
-мерный вектор состояния объекта управления;
мерный вектор управления;
-мерный вектор шумов возмущения ( ,);
-мерный вектор шума наблюдения;
-мерный вектор шума наблюдения;
– матрицы преобразования размерности .
Шумы , являются гауссовскими и образуют независимые в дискретном времени последовательности.
В качестве целевого функционала используется квадратичный функционал ,
(1)
Задача о поставке топлива.
Пусть: – объем продукта, хранимого в k-ый день на нефтехранилище, фиксируемый относительно некоторого среднего уровня ;
– объем продукта, поступающего в k-ый день по результатам ранее сделанного заказа.
– текущий расход продукта при продаже;
– средний объем продаж, для которого известен сезонный тренд.
Управление формирует объем заказа на поставку продукта и определяет значение , то есть имеется запаздывание на один день (такт).
При поставке и при продаже продукта имеются случайные возмущения и , обусловленные человеческим фактором, потерями при перевозке, колебаниями спроса и т.п.
Динамика изменения продукта и состояния системы в целом определяется уравнениями
, , ,
– известный коэффициент, определяющий степень корреляции продаж в соседние дни.
Тогда, задавая
получаем уравнение
В качестве начального значения вектора состояния объекта возьмем вектор , где – оптимальный с точки зрения работы нефтехранилища средний уровень топлива; – средний объем продаж для текущего месяца.
Наблюдение за объектом управления осуществляется путем измерения объема продукта каждый день. Пусть результаты измерения, а – погрешность подобных измерений. Тогда .
Другой вариант организации наблюдения за состоянием объекта предполагает дополнительно контроль объема продажи. Тогда
,
Оптимальное управление состоит в поддержании уровня продукта вблизи среднего уровня с минимизацией затрат на управление, то есть на возобновление недостающей части продукта.
Такое качество управления описывается функционалом вида , . Вводим величину относительного изменения продукта и получаем, что данный функционал полностью соответствует выражению (1), если
Таким образом, рассмотренная задача является линейно-квадратичной задачей управления для стохастической системы.
Контрольно-измерительный материал № 2
Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.
Пусть , где m – число независимых уравнений. Решение, если оно существует, лежит в одной из вершин ОДР – в вершинах выпуклого многогранника, называемого симплексом. В каждой такой вершине по крайней мере k переменных равны нулю. Выберем в качестве свободных любые переменные, например, , а остальные выразим через них ,…, . Положим все свободные переменные равными нулю. При этом . Это решение допустимо, если все . Если среди , есть хотя бы один коэффициент, который меньше нуля, то требуется выбрать новый набор свободных переменных. Проверим полученное решение на оптимальность и выразим W через свободные переменные Очевидно, что при . Попробу-ем улучшить это решение, то есть уменьшитьW, увеличивая какие-нибудь из переменных
Если среди коэффициентов есть отрицательные, полученное решение действи-тельно можно улучшить, увеличивая те из переменных, для которых коэффициенты меньше нуля. Если все , , то найденное решение является оптимальным.
Пусть, например, коэффициент отрицателен. Тогда есть смысл увеличить , что эквивалентно переходу из данной вершины (опорного решения) к другой, где теперь переменная . Увеличивать надо осторожно, чтобы не стали отрицательными другие переменные , зависящие от . Такая опасность су-ществует, если среди коэффициентов есть отрицательные. Если таких коэффициентов нет, то величину можно увеличивать беспре-дельно и, значит, величина W не ограничена снизу (оптимального решения нет). Допустим, что среди уравнений ,…, есть те, в которых коэффициент при отрица-телен. Возьмем одну из таких переменных .
, где . Тогда, если оставить определить равным , получим точку, в которой . Если выбрать среди , переменную (обозначаем ее ), которая при увеличении раньше всех станет равной ну-лю, получится новое опорное решение, то есть произойдет перемещение из одной вершины ОДР в другую, где .
Теперь надо переразрешить систему ,…, относительно новых базисных и свободных переменных и найти новое значение W как линейной функции переменных . Если все коэффициенты при переменных функции W больше нуля, то полученное решение является оптимальным, если нет, то описанный процесс повторяется вновь и вновь, пока не будет найдено оптимальное решение (управление). Выполняемая обработка данных по шагам выглядит следующим образом.
Шаг 1. Задание набора свободных переменных . Пересчет выражений базисных переменных через свободные , и пересчет .
Шаг 2. Проверка допустимости решения , то переход на Шаг 3, иначе переход на Шаг 1.
Шаг 3. Проверка оптимальности решения : если то остановка, иначе фиксируется и переход на Шаг 4.
Шаг 4. Проверка: если то оптимального решения нет и останов, иначе увеличение до значения , , переход на Шаг 1.