1. Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминированной системы на основе методов вариационного исчисления.

Общее решение задачи оптимального управления со свободным правым концом для детерминиро-ванной системы , без ограничений на управление. Отсутствие ограничений на управление означает, что его возможные значения , где – множество ограниченных непрерывных функций. Такая задача может быть решена в рамках методов вариационного исчисления. Вариа-ционное исчисление изучает методы нахождения экстремума функционалов. Вариацией функции y(x) есть функция от X вида , определяемая как разность новой функции Y(x) иy(x). Пусть дана функция . Если она имеет непрерывные частные производ-ные второго порядка, то ее приращение, вызванное вариациями , определяется как ,

. В приведенном выражении (формуле Тейлора) первый и второй член – есть первая и вторая вариации функцииF. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения. Для скалярной функции векторного аргумента

.

Решение поставленной задачи нахождения минимума функционала J осуществляется по следующей схеме.Образуется вспомогательный функционал , где – вектор множителей Лагранжа. Необходимость введения вспомогательного функционала определяется необходимостью учета характера движения. Вводится скалярная функция, называемая гамильтонианом . Интегрируя по частям последнее слагаемое в правой части, получим

.Найдем теперь вариацию функционала , соответствующую вариациям управления u(t) с учетом возникающих при этом вариаций x(t)

.Для того, чтобы исключить влияние вариаций , вызванных вариациями по управлению , на вариации функционала , выберем множители таким образом, чтобы коэффициенты при , обратились в ноль ; . Эта система уравнений называется сопряженной системой. При выборе ψ(t) в соответствии с сопряженной системой уравнение для имеет вид . (1) Это уравнение определяет первую вариацию функционала . Поскольку J= на траекториях решения уравнения, описывающего поведение системы, то и . Если J достигает экстремума, то для произвольных .

фиксировано, тогда . – множество ограниченных непрерывных функций, необходимое условие экстремума имеет вид (2). Уравнения (1) и (2) это уравнения Эйлера-Лагранжа. Они дают стационарное решение – необходимое условие минимума функционала потерь. Достаточное условие определяется на основе определения еще и знака второй вариации .Таким образом, для того, чтобы найти , нужно решить систему уравнений порядка 2m следующего вида: ,

, где u(t) определяется из условия .Система уравнений имеет m краевых условий на левом конце и m краевых условий на правом конце .Это общее решение задачи в рамках классических методов вариационного исчисления.