- •Определение систем в рамках теоретико - множественного подхода. Математические модели простых динамических систем.
- •Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.
- •Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Классификация систем управления. Основ-ные этапы синтеза сложных систем управления.
- •Метод анализа иерархий.
- •Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
- •Иерархическая схема управления сложным объектом. Основные принципы иерархического управления.
- •Управляемость и наблюдаемость систем управления.
- •Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Постановка и пример задачи автоматичес-кого управления для непрерывных динамичес-ких систем. Задачи Больца, Лагранжа, Майера.
- •Метод анализа иерархий.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминиро-ванной системы на основе методов вариации-онного исчисления.
- •Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Управление ресурсами и задача линейного программирования. Примеры, геометрическая интерпретация.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода
- •2.Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Метод анализа иерархий.
- •2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминированной системы на основе методов вариационного исчисления.
- •2. Оптимальное управление в стохастических системах. Принцип разделения в непрерывных стохастических системах.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Уравнения фильтра Калмана в дискретном времени. Пример постановки задачи стохастического управления (управление нефтехранилищем).
- •Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •2. Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии при переводе материальной точки в начало координат.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии (задача о «лифте»).
- •2. Применение микропроцессоров и микро – эвм в цифровых системах управления.
Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
Рассмотрим линейную динамическую систему
,
с квадратичным функционалом качества управления
,
. Гамильтониан системы . Необходимые условия оптимальности управления
.Из последнего уравнения следует, что . Подставляя это решение в предыдущее уравнение, получим краевую задачу , , . Обозначим Далее ищем вектор-функцию ψ(t) в виде , P(t) – симметричная матрица, которая подлежит определению. Продифференцируем обе части последнего равенства по t. Тогда получим
. Заменяя производные в соответствии с исходными уравнениями для краевой задачи, получим
Подставляя вместо ψ(t) величину -2P(t)x(t), получим уравнение для нахождения матрицы P(t).
,
).
Это уравнение матричного уравнения Риккати. Оно имеет единственное решение и позволяет оп-ределить оптимальное управление в виде . Оптимальное управление в линейно-квадратичной задаче связано с текущим состоянием системы линейным оператором. Зависимость означает, что для обеспечения оптимального управления, минимизирующего квадратичный функционал (то есть затраты энергии на управление), необходимо обеспечить пропорциональное изменению состояния, обратное по знаку воздействие на управляемый объект. Для получения оператора в явном виде надо найти решение уравнения Риккати, которое в явном виде получить сложно.
Управление ресурсами и задача линейного программирования. Примеры, геометрическая интерпретация.
Факторы, от которых зависит исход операции, делятся на две группы:
– набор факторов, которые известны заранее и на которые мы не можем влиять;
– зависящие от нас факторы, которые, с учетом действующих ограничений, мы можем определять в процессе управления – выполнения операции.
Эффективность операции характеризуется числовым критерием или показателем W, который требуется обратить в максимум (или минимум)
,
, выбирая наборы при заданных , принадлежащие к области допустимых значений .
Геометрическая интерпретация ОЗЛП.
Пусть . Тогда две из переменных, например , можно выбрать в качестве свободных, а остальные m сделать базисными и выразить их через свободные переменные. Получим уравнений вида
(1)
Полученные уравнения определяют область допустимых решений (ОДР). должны быть неотрицательны. Из уравнений получим n прямых, включая и оси и . Каждая из них определяет допустимую область – полуплоскость, лежащую по одну сторону прямой и соответствующую условию .
Часть плоскости , принадлежащая полуплоскостям, образует область допустимых решений (ОДР). ОДР всегда образует выпуклый многоугольник. Может оказаться, что общей области неотрицательных решений нет. Тогда ОДР не существует. Для нахождения оптимального решения также используем геометрическую интерпретацию для случая . Подставим выражения (1) для в выражение для W и после приведения подобных членов получим , где – сво-бодный член, а – коэффициенты при . Функция W достигает минимума при тех же значениях, что и . Для нахождения придадим W’ постоянное значение .
Другому значению соответствует прямая линия, параллельная первоначальной. Отсюда следует, что для нахождения решения необходимо построить основную прямую с угловым коэффициентом . и и перемещать ее в направле-нии, для которого значение убывает.
Очевидно, что при перемещении в указанных направлениях значение W достигает минимума в точке, являющейся крайней точкой ОДР. В этой точке , являющейся оптимальным решением, определяются значения и других переменных, а также достигаемое значение W
. Закономерно-сти говорят нам о следующем.
1. Решение ОЗЛП, если оно существует, лежит на границе ОДР. ОЗЛП может не иметь решения, если в направлении движения с уменьшением W ОДР неограниченна.
2. Решение достигается в одной из вершин выпуклого многоугольника ОДР, каждая из которых отвечает некоторому «опорному» решению.
3. Две переменные для любой из вершин равны нулю. Из этого следует возможность нахождения оптимального решения на основе перебора всех вершин ОДР.
Контрольно-измерительный материал № 10