- •Определение систем в рамках теоретико - множественного подхода. Математические модели простых динамических систем.
- •Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.
- •Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Классификация систем управления. Основ-ные этапы синтеза сложных систем управления.
- •Метод анализа иерархий.
- •Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
- •Иерархическая схема управления сложным объектом. Основные принципы иерархического управления.
- •Управляемость и наблюдаемость систем управления.
- •Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Постановка и пример задачи автоматичес-кого управления для непрерывных динамичес-ких систем. Задачи Больца, Лагранжа, Майера.
- •Метод анализа иерархий.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминиро-ванной системы на основе методов вариации-онного исчисления.
- •Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Управление ресурсами и задача линейного программирования. Примеры, геометрическая интерпретация.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода
- •2.Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Метод анализа иерархий.
- •2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминированной системы на основе методов вариационного исчисления.
- •2. Оптимальное управление в стохастических системах. Принцип разделения в непрерывных стохастических системах.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Уравнения фильтра Калмана в дискретном времени. Пример постановки задачи стохастического управления (управление нефтехранилищем).
- •Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •2. Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии при переводе материальной точки в начало координат.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии (задача о «лифте»).
- •2. Применение микропроцессоров и микро – эвм в цифровых системах управления.
Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
Устойчивость. Пусть, например, система определяется отображением где d и e соответствуют причине и следствию некоторого явления. Причинно-следственная пара (d,e) называется устойчивой, если незначительные отклонения от e вызываются малыми отклонениями от d, т.е. для всех , близких к d , соответствующие следствия будут близки к e, , где – малые величины, причем величина связана с . Это означает, что малые отклонения d не могут существенно изменить следствие. Пусть имеется уравнение описывающее поведение системы в евклидовом пространстве X, для которого в некоторой области выполнены условия существования и единственности решения. Управление в обозначим в форме функции f(…).
Теорема Ляпунова. Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего условию , при всех t>0. Здесь – некоторая метрика в евклидовом пространстве, например, «модуль». Другими словами, устойчи-вость по Ляпунову означает равномерно непре-рывную зависимость решений от начальных данных. Если требуют дополнительно, чтобы выполнялось , то подобное поведение системы называют асимптоти-ческой устойчивостью. Вещественную непрерыв-но дифференцируемую и знакопостоянную функцию , удовлетво-ряющую условию , называют функцией Ляпунова.
Теорема (первая теорема Ляпунова). Пусть существует функция Ляпунова такая, что , где – скалярная непрерывная неубывающая функция такая, что и , . Пусть также
, где – называется производной функции Ляпунова в силу системы.
Возьмем и любое . В качестве выберем такое число, что , . Из непрерывности V(t,x) и условия V(t,0)=0 следует, что такое число найдется. Условие означает, что функция V(t,x) не возрастает вдоль решений исходного уравнения. При и , получим , . В силу монотонности отсюда вытекает, что . Нахождение функций Ляпунова позволяет исследовать уравнения на устойчивость без их решения.
И нтерпретация задачи определения устойчивости для системы, описываемой конечно-разностным уравнением в дискретном времени . Функция является функцией Ляпунова для системы в случае если
1. непрерывна по X и ;
2. – положительно определена при ;
3. (неотрицательно определена).
Теорема об устойчивости формулируется следующим образом: если для системы существует функция Ляпунова, то решение асимптотически устойчиво. Функция Ляпунова легко определяется для линейных систем вида
.
Разность для другого решения также удовлетворяет уравнению . Это значит, что если устойчиво, то каждое другое решение также устойчиво. То есть для линейных систем устойчивость – свойство системы, а не конкретного решения.Для линейной системы при a=0 функцию Ляпунова обычно ищут в виде где B – положительно определенная матрица. Вычислим первую разность функции Ляпунова и преобразуем ее к виду
, где C – некоторая положительно определенная матрица, которая находится из матричного уравнения . Это уравнение (матричное уравнение Ляпунова) всегда имеет решение, если система устойчива. В качестве C обычно выбирают единичную матрицу(C=I). Если матрицу A путем невырожденного преобразования F можно привести к диагональному виду, то
и решение есть линейная комбинация , где , собственные числа A. Для достижения асимптотической устойчивости все решения должны стремиться к нулю при . В этом случае все собственные числа A должны обладать свойством . В самом простейшем случае скалярного уравнения устойчивость достигается при <1, так как и любое возмущение начального значения будет «погашено» с течением времени.