- •Определение систем в рамках теоретико - множественного подхода. Математические модели простых динамических систем.
- •Принцип разделения в цифровых системах управления. Обоснование для линейно – квадратичной задачи управления в дискретном времени.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс- метода.
- •Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Классификация систем управления. Основ-ные этапы синтеза сложных систем управления.
- •Метод анализа иерархий.
- •Устойчивость динамических систем. Теорема Ляпунова в непрерывном и дискретном времени.
- •Иерархическая схема управления сложным объектом. Основные принципы иерархического управления.
- •Управляемость и наблюдаемость систем управления.
- •Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Постановка и пример задачи автоматичес-кого управления для непрерывных динамичес-ких систем. Задачи Больца, Лагранжа, Майера.
- •Метод анализа иерархий.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминиро-ванной системы на основе методов вариации-онного исчисления.
- •Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Управление ресурсами и задача линейного программирования. Примеры, геометрическая интерпретация.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода.
- •Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
- •Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода
- •2.Общая постановка задачи оптимальной фильтрации и методика ее решения.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов (динамического программирования) на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Кибернетический подход к описанию систем. Понятия об управлении, системе управления, структурные схемы процесса управления.
- •Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.
- •Метод анализа иерархий.
- •2. Цифровая схема управления (общая схема преобразований). Эквивалентность цифровой и непрерывной систем.
- •Общее решение задачи автоматического управления без ограничений для детерминированной системы на основе методов вариационного исчисления.
- •2. Оптимальное управление в стохастических системах. Принцип разделения в непрерывных стохастических системах.
- •Принципы координации в задачах управления сложными объектами.
- •2. Уравнения фильтра Калмана в дискретном времени. Пример постановки задачи стохастического управления (управление нефтехранилищем).
- •Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.
- •2. Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии при переводе материальной точки в начало координат.
- •Линейный регулятор. Пример решения задачи лк – управления.
- •2. Решение задачи о пошаговом распределении ресурсов на основе принципа оптимальности Беллмана.
- •Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии (задача о «лифте»).
- •2. Применение микропроцессоров и микро – эвм в цифровых системах управления.
Принцип максимума Понтрягина и решение задачи о быстродействии (задача о «лифте»).
В рамках вариационных методов задача синтеза оптимального управления решается без огра-ничений на характер управления. На практике управление часто имеет существенные ограни-чения в форме замкнутых допустимых подмно-жеств своих значений. Использование методов вариационного исчисления при наличии по-добных ограничений на управление невозможно. Необходимые условия оптималь-ности управления в таких задачах дает принцип максимума Понтрягина. Рассмотрим классическую задачу Больца , где моменты времени , T считаем заданными, как и начальное значение . Задача Больца всегда может быть сведена к задаче Майера. Для этого вводится новая переменная ,
и новый расширенный вектор состояний
.
,
. Вводится дополнительное ограничение на управление . Если множество замкнуто и ограничено, то оптимальное управление может принадлежать границе множества. В этом случае варьировать управление произвольным образом нельзя.В рамках принципа максимума Понтрягина доказывается следующая теорема. Пусть – оптимальное управление, а – оптимальная траектория. Тогда существует вектор , удовлетворяющий уравнениям ,
такой, что функция имеет максимум
Максимум функции вычисляется по параметрам управления u при фиксированных значениях остальных параметров. Если ввести то в задаче Майера. Таким образом, построение оптимального управления производится последующей схеме:
управление сначала определяется на основе максимизации гамильтониана как функция
; затем найденное управление подставляют в уравнение для и и решают полученную краевую задачу относительно ; подставляют найденные в выражение для , получая при этом явный вид . Подобное решение задачи управления является оптимальным, если решение исходной задачи существует, а решение краевой задачи единственно. По сравнению с необходимыми условиями оптимальности в классической вариационной задаче в принципе максимума заменено только условие стационарности на условие максимума. Рассмотрим использование данного метода в задаче управления, если определена не только начальная , но и конечная точка , но не определено время T и требуется минимизировать функционал ,
. Такая задача называется задачей о быстродействии.
Задача о быстродействии также может быть сведена к задаче Майера. Введем вектор
,
. Тогда задача поиска оптимального управления сводится к задаче минимизации функционала , то есть по форме к задаче Майера. Гамильтониан в данной задаче имеет вид (если ввести )
.Рассмотрим в качестве конкретного примера задачу о минимизации времени перевода материальной точки, движущейся по прямой с начальной скоростью из заданного начального состояния x(0), в начало координат с нулевой конечной скоростью (задача об управлении лифтом). Пусть – координата, а – скорость. Тогда уравнение движения и краевые условия к нему имеют вид
,
. Управление u(t) в данном случае определяет ускорение, для которого нужно ввести ограничения. Пусть .Выбором управления требуется перевести систему в начало координат за минимальное время
. В данном случае гамильтониан имеет вид . Система сопряженных уравнений имеет вид
.Максимум функции H обеспечивается для ограничения при условии ,
Пусть на некотором интервале времени . Тогда движение системы происходит по параболам , . Если же в течение некоторого интервала времени то . Так как функция , то оптимальное управление может иметь только одну точку переключения (изменения знака) и два интервала постоянства уровней.