2. Уравнения фильтра Калмана в дискретном времени. Пример постановки задачи стохастического управления (управление нефтехранилищем).

Требуется найти оптимальную в среднеквадратич-ном оценку в задаче линейной фильтрации (фильтр Калмана-Бьюси в дискретном времени). Плотность имеет гауссовский вид

, – матрица ковариации ошибки – отклонения от условного среднего . Каждый вектор есть сумма двух гауссовских величин . Поэтому плотность распределения совокупности является совместно гауссовской. Образующие ее условные плотности распределения вероятностей

также являются гауссовскими.

Задача оптимальной фильтрации.

Пусть известна оценка для k-ого шага и матрица ковариации ошибки . Тогда при получении очередного наблюдения вносится уточнение

,

,

,

.

, (3.17)

Отсюда окончательно оценка на k+1-ом шаге имеет вид

. Рекуррентное выражение для имеет вид . На первом шаге известны как начальные условия. Из леммы об ортогональном проецировании следует, что

то есть последнее слагаемое в выражении для можно рассматривать как независимое во времени возмущение. Обозначив

. Эти выражения определяют решение задачи оптимальной линейной фильтрации в виде рекуррентного фильтра Калмана-Бьюси в дискретном времени.Получаемая на его основе оценка обладает свойством рекуррентности, оптимальности в среднеквадратичном и независимости матрицы ошибок и, соответственно, весовой матрицы от наблюдений. Главный результат состоит в том, что получена та структура оценки состояния объекта, которая была ранее определена при доказательстве принципа разделения.

Контрольно-измерительный материал № 18

1. Синтез структуры сложной системы управления. Метод ветвей и границ.

Проблема управления в сложных системах характеризуется.

1.Наличием большого количества элементов, взаимодействующих друг с другом «непростым» образом, причем отдельные подмножества этих элементов составляют субъект управления, объект управления и внешнюю среду;

2.Отсутствием законченного формализованного описания объекта управления, облик которого постоянно меняется и который сам по себе является сложной многоэлементной системой;

3.Трудно предсказуемым воздействием внешней среды на объект и субъект управления, так как элементы, входящие в состав внешней среды, в полном объеме выделены быть не могут и всегда остаются неучтенные воздействия.

Указанные обстоятельства ограничивают возможности оптимизации процесса управления в сложных системах: цель управления в полном объеме достигнута быть не может.

Формальная или функциональная структура, определяющая перечень и взаимосвязь основных функциональных операций, выполняемых в системе; материальная структура, характеризующая реальное наполнение системы элементами и взаимосвязи между ними; амальгированная структура, объединяющая функциональную и материальную структуры и обычно именуемую просто структурой.

В практических приложениях проблему синтеза структуры сложной системы управления разделяют на три составляющие:

4. Синтез (анализ) структуры управляемой системы, то есть нахождение оптимального состава элементов и их взаимосвязей – познание объекта управления.

5. Синтез структуры управляющей части системы, включая: выбор числа уровней (иерархии), определение подсистем, функциональных модулей и т.д. и распределение функций между уровнями и элементами (в том числе между человеком-оператором и ЭВМ).

6. Синтез структуры систем передачи и обработки информации, так как сложная СУ обычно является разветвленной, пространственно-распределенной системой.

Оптимизационные задачи данного класса могут быть решены методом ветвей и границ, который реализует направленный перебор значений , что позволяет существенно уменьшить объем всех возможных комбинаций.

Суть метода состоит в следующем. При нахождении для некоторого функционала на множестве элементов G реализуются следующие построения и приемы.

1. Определение или оценка нижней границы функционала на множестве G или его подмножестве G’ :

2. Разбиение на подмножества – ветвление. Множество G (подмножество G’) разбивается на дерево подмножеств – обычно непересекающуюся совокупность . Каждое из них далее опять разбивается на меньшие подмножества и т.д., пока не получают отдельные элементы x, .

3. Пересчет оценок нижней границы. Если , то очевидно .

Поэтому при разбиении некоторого множества на , всегда имеем, что для любого оценка границы не меньше оценки для множества в целом. Это значит, что если , то искать и разбивать дальше не стоит.

4. Вычисление планов. Вычисление планов в виде элемента осуществляется на основе специфики задачи.

5. Признак оптимальности. Пусть и план принадлежит некоторому подмножеству . Если при этом , то – оптимальный план задачи.

Таким образом, схема определения оптимального решения состоит в следующем. Находим оценку . Если при этом удается найти такой план , что , то – оптимальный план. Если план не найден, то некоторым образом разбиваем G на конечные подмножества и находим для них оценки. Используя признак оптимальности, пытаемся найти оптимальный план. Если он опять не найден, то выбираем «наиболее перспективное» для дальнейшего разбиения множество, то есть имеющее минимальный уровень значения оценки. Выбранное множество разбивается вновь и т.д.