Управляемость и наблюдаемость систем управления.
Управляемость.
Динамическая
система называется вполне управляемой
тогда и только тогда, когда для любого
начального состояния
и любого конечного состояния x(t)
существует управляющая траектория
такая, что
,
где H(…)
– оператор, описывающий изменение
состояния системы. Условия управляемости
для линейной системы
которая
называется
полностью управляемой, если может быть
переведена из любого произвольного
начального состояния
в заданное состояние
за конечное время (конечное число
шагов). Пусть
задано начальное состояние
,
тогда состояние системы в момент k=m,
где m
– порядок уравнения, определяется
следующим образом:
,
,
,
где R
– составная матрица; U
– управляющая последовательность.
Размерность вектора U
равна
,
а матрицы
.
Если ранг матрицы R
равен m
(m
– размерность
),
то можно получить m
уравнений, решением которых будет
управляющий сигнал, под воздействием
которого объект перейдет из начального
в желаемое конечное. Для объекта с
одним управляющим входом r=1
(B-вектор)
такая последовательность определяется
однозначно, то есть единственным
решением
.
Если B
– матрица, то существует множество
решений. Для системы, описываемой
линейным дифференциальным уравнением
в непрерывном времени
,
свойство управляемости также определяется
рангом матрицы
.
Рассмотрим пример
определения управляемости движением
материальной точки в непрерывном и
дискретном времени. Исходное
дифференциальное уравнение имеет вид
,
,
где
– координата;
–
скорость движения точки. Уравнение
u(t)
задает изменение ускорения движения.
Матрица R
определяется в виде
и
имеет ранг, равный двум. Это значит, что
подобная система управляема.Для описания
управления в дискретном времени можно
использовать разностное уравнение
вида
,
,
.
Аналогично
и
такая система также управляема, причем
достижение любого конечного состояния
осуществляется за два шага.
Наблюдаемость.
Система называется наблюдаемой, если
ее текущее состояние
может быть однозначно восстановлено
на основа-нии текущей и прошлой информации
о некоторых наблюдаемых параметрах
,
связанных с x(t)
оператором известного вида
,
где
v(t)
– вектор шумов (помех) при проведении
наблюдений. Под наблюдаемостью понимается
возможность косвенного определе--ния
непосредственно не наблюдаемых
состоя-ний объекта
управления на основе определения
некоторых других величин и использования
апри-орной информации. В зависимости
от видов мно-жеств X,
Y,
оператора h
и наличия шумов можно определить большое
число вариантов постановок задачи
наблюдаемости. Пусть
.
Этот вариант называется случаем
полнокомпонентного мгновенного
наблюдения. Обычно же имеет место
ситуация, когда
,
и
n<m,
то есть имеет место неполная на-блюдаемость.
Рассмотрим линейную систему в дискретном
времени
,
где
– вектор наблюдаемых пара-метров; h
– матрица размером
;
G
– матрица размером
.
Действие управления всегда можно
определить и поэтому общность решения
не пострадает, если положить
.
Пусть теперь получены наблюдения
.
Тогда можно записать следующую систему:
,
…,
.
В векторной форме :
.
Состояние
,
а значит и текущее состояние
,
можно определить тогда и только тогда,
когда матрица R
имеет максимальный ранг, рав-ный m.
Общий размер R
равен
.
Если ранг R
меньше m,
то имеет место неполная наблюдаемость.
Если n=1,
то R
– квадратная матрица размером
и можно однозначно определить
.
Все
эти определения могут быть легко
обобщены на случай описания системы
нелинейными уравнениями в непрерывном
или дискретном времени. Пусть
.
Для
однозначного определения
по наблюдениям
необходимо, чтобы
,
.