Теорема о нормальной корреляции и ее следствия.
Теорема. Для гауссовских векторов оптималь-ная оценка в виде условного среднего вектора относительно ξ (по наблюдению ξ) и ее матрица ошибок задаются формулами
= , , ,
,
.
Доказательство. Образуем вектор
.
,то есть вектор η не коррелирован с вектором . В силу гауссовости векторов и вектор , а также η будут гауссовскими. Некоррелированность для гауссовских векторов означает их независи-мость. Значит η и ξ-M[ξ], а также η и ξ будут независимы и, следовательно, M[η/ξ]=M[η] 0.
Следует, что . Для доказательства выражения для матрицы ковариации ошибок рассмотрим условную ко-вариацию . Поскольку , то, в силу независимости η и ξ.
Поскольку не зависит от случая, то есть от наблюденийξ, то .Теорема доказана в целом.
1. Если величины и ξ некоррелированы, то есть ,тогда , , Наблюдение за ξ не дает новой информации относительно значений .
2.
Если величины
и ξ полностью коррелированы, то есть
,
,
то
. Наблюдение за ξ дает полную информацию о .
Следствие 1.Пусть и ξ случайные векторы, а G – некоторая совокупность условий. Тогда
=
.
Следствие 2.
Обозначим векторы ,
,
, . Тогда с учетом первого следствия .
Оценка является линейной и ее можно представить в виде – некоторые известные коэффициенты. Тогда
. Данное следствие носит название леммы об ортогональном проецировании и свидетельствуют о том, что ошибка оценивания ортогональна в статистическом смысле любому из наблюдений.
Контрольно-измерительный материал № 11
Решение задачи линейного программиро-вания на основе симплекс – метода
Пусть , где m – число независимых уравнений. Решение, если оно существует, лежит в одной из вершин ОДР – в вершинах выпуклого многогранника, называемого симплексом. В каждой такой вершине по крайней мере k переменных равны нулю. Выберем в качестве свободных любые переменные, например, , а остальные выразим через них ,…, . Положим все свободные переменные равными нулю. При этом . Это решение допустимо, если все . Если среди , есть хотя бы один коэффициент, который меньше нуля, то требуется выбрать новый набор свободных переменных. Проверим полученное решение на оптимальность и выразим W через свободные переменные Очевидно, что при . Попробу-ем улучшить это решение, то есть уменьшитьW, увеличивая какие-нибудь из переменных
Если среди коэффициентов есть отрицательные, полученное решение действи-тельно можно улучшить, увеличивая те из переменных, для которых коэффициенты меньше нуля. Если все , , то найденное решение является оптимальным.
Пусть, например, коэффициент отрицателен. Тогда есть смысл увеличить , что эквивалентно переходу из данной вершины (опорного решения) к другой, где теперь переменная . Увеличивать надо осторожно, чтобы не стали отрицательными другие переменные , зависящие от . Такая опасность су-ществует, если среди коэффициентов есть отрицательные. Если таких коэффициентов нет, то величину можно увеличивать беспре-дельно и, значит, величина W не ограничена снизу (оптимального решения нет). Допустим, что среди уравнений ,…, есть те, в которых коэффициент при отрица-телен. Возьмем одну из таких переменных .
, где . Тогда, если оставить определить равным , получим точку, в которой . Если выбрать среди , переменную (обозначаем ее ), которая при увеличении раньше всех станет равной ну-лю, получится новое опорное решение, то есть произойдет перемещение из одной вершины ОДР в другую, где .
Теперь надо переразрешить систему ,…, относительно новых базисных и свободных переменных и найти новое значение W как линейной функции переменных . Если все коэффициенты при переменных функции W больше нуля, то полученное решение является оптимальным, если нет, то описанный процесс повторяется вновь и вновь, пока не будет найдено оптимальное решение (управление). Выполняемая обработка данных по шагам выглядит следующим образом.
Шаг 1. Задание набора свободных переменных . Пересчет выражений базисных переменных через свободные , и пересчет .
Шаг 2. Проверка допустимости решения , то переход на Шаг 3, иначе переход на Шаг 1.
Шаг 3. Проверка оптимальности решения : если то остановка, иначе фиксируется и переход на Шаг 4.
Шаг 4. Проверка: если то оптимального решения нет и останов, иначе увеличение до значения , , переход на Шаг 1.