2. Решение линейно – квадратичной задачи нахождения оптимального управления для динамической системы в непрерывном времени на основе методов вариационного исчисления.

Рассмотрим линейную динамическую систему

,

с квадратичным функционалом качества управления

,

. Гамильтониан системы . Необходимые условия оптимальности управления

.Из последнего уравнения следует, что . Подставляя это решение в предыдущее уравнение, получим краевую задачу , , . Обозначим Далее ищем вектор-функцию ψ(t) в виде , P(t) – симметричная матрица, которая подлежит определению. Продифференцируем обе части последнего равенства по t. Тогда получим

. Заменяя производные в соответствии с исходными уравнениями для краевой задачи, получим

Подставляя вместо ψ(t) величину -2P(t)x(t), получим уравнение для нахождения матрицы P(t).

,

).

Это уравнение матричного уравнения Риккати. Оно имеет единственное решение и позволяет оп-ределить оптимальное управление в виде . Оптимальное управление в линейно-квадратичной задаче связано с текущим состоянием системы линейным оператором. Зависимость означает, что для обеспечения оптимального управления, минимизирующего квадратичный функционал (то есть затраты энергии на управление), необходимо обеспечить пропорциональное изменению состояния, обратное по знаку воздействие на управляемый объект. Для получения оператора в явном виде надо найти решение уравнения Риккати, которое в явном виде получить сложно.

Контрольно-измерительный материал № 15

1. Метод анализа иерархий.

Данный метод опирается на декомпозицию сложной проблемы на ее более простые составляя-ющие части и дальнейшую математическую обработку последовательности суждений лиц, принимающих решения (ЛПР), которые форми-руются в виде совокупности парных сравнений.

• Решение сложной проблемы всегда есть процесс поэтапного установления приоритетов. Сначала выявляются наиболее важные составля­ющие (элементы) проблемы, затем – наилучший способ проверки наблюю-дений и оценки элементов для альтернативных вариантов развития ситуации; следующим этапом может быть вы-работка окончательного способа принятия решений и оценка его качества. Весь процесс подвергается уточ-нению и переосмыслению до тех пор, пока не будет уверенности в том, что он охватил все характеристики, необходимые для представления и решения проблемы.

• Другой важный аспект решения сложной проб-лемы выбора исходит из естественной способности людей мыслить логически и творчески, определять события и устанавливать отношения между ними.

МАИ, как и любые методы системного анализа, не дает «абсолютного» решения проблемы, а только формирует структурную основу для ее познания и исследования, позволяя максималь-но приблизиться к цели управления. В рамках МАИ на первом этапе решения проблемы обра-зуется доминантная иерархия, формируемой начиная с вершины (цели – с точки зрения управ-ления), через промежуточные уровни (критерии или факторы, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню. Иерархия счи-тается полной, если каждый элемент заданного уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня. После иерархи-ческого воспроизведения проблемы реализуется второй этап – установления приоритетов для кри-териев и оценка альтернатив в соответствии с принципом дискриминации и сравнительных суждений. Проводится опрос лиц принимающих решения (ЛПР) или экспертов. В МАИ элементы проблемы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», «интенсивности») на об-щую для них характеристику. Установление важ-ности элементов при попарном сравнении есть отражение способности человека к высказыванию относительных (сравнительных) суждений притом, что он обычно затрудняется сразу оценить много-аспектную проблему в целом. Реально получаемые матрицы сравнений при опросе людей не всегда являя-ются полностью согласованными. Когда проблема представлена иерархически, матрица попарных срав-нений составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели управления. Затем подобные матрицы строятся для парных сравнений альтернатив по отношению к каждому из критериев второго уровня. После формирования матриц попарных суждений наступает третий этап окончательного определе-ния (синтеза) приоритетов, обеспечивающих полу-чение осмысленных решений в рамках проблемы многокритериального планирования. Из группы матриц попарных сравнений формируется набор локальных приоритетов, который получается в результате определения собственных векторов для каждой матрицы. Собственные векторы нормализу-ются, формируя вектор приоритетов. Для определения компонентов собственных векторов в МАИ исполь-зуются оценки на основе геометрического среднего.