- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
Для вывода формулы необходимо (3.7), записанное с учетом действия стороннего тока, умножить скалярно на , а (3.8) на:
, (5.1)
. (5.2)
После вычитания (5.1) из (5.2) и преобразования левой части по (2.15) :
. (5.3)
После интегрирования по объему и преобразований получаем:
. (5.4)
Каждое слагаемое в (5.4) имеет размерность мощности:
. (5.5)
Закон сохранения ЭМ энергии, доказанный Дж. Пойтингом в 1884 г., можно сформулировать так: «Мощность стороннего источника в данном объеме расходуется на излучение, тепловые потери и изменение запаса энергии ЭМП». Ранее, в 1874 г. Н. А. Умовым была доказана аналогичная теорема для упругих сред, поэтому выведенные формулы носят имя обоих ученых[11, 12].
Мощность тепловых потерь (потерь проводимости) подчиняются закону Дж. Джоуля-Э. Ленца. Изменение запаса энергии имеет размерность мощности:
, (5.6)
где WЭМ– энергия ЭМП, аwЭМ– объемная плотность энергии ().
Вектор называетсявектором Пойтинга.
По теореме (2.11). Таким образом, вектор Пойтинга указываетнаправление распространения излучения, а его модуль представляет собойплотность потока мощностиизлучения(рис. 5.1).
Для получения формул в комплексной форме используются (3.16) и (3.17). При этом умножаем на уравнение, комплексно сопряженное (3.16) с учетом стороннего тока, а (3.17) на(величину комплексно сопряженную). После преобразований, аналогичных (5.3), и интегрирования по объему получаем:
. (5.7)
, (5.8)
где ,,, аи– энергия магнитного и электрического поля соответственно,[12].
Выражение (5.8) – баланс комплексных мощностейв объемеV.
Рассмотрим понятия мгновенной, средней, комплексной мощности на примере тока (I(t)=) и напряжения (U(t)=)[12].
Мгновенной мощностью называютP(t)=U(t)I(t).
После подстановки и преобразований получим:
. (5.9)
Постоянная составляющая P(t)– средняя мощность (Pср).Pсрзависит от фазового сдвига междуU и Iи равнасредней за период измеряемой мощности.
Для комплексныхамплитуд:
. (5.10)
Действительная часть комплексной мощности(активная мощность):
. (5.11)
Реактивнаямощность , как известно из теории цепей, характеризуетпроцесс обмена энергиеймежду источником и цепью. ПриPр>0 энергия запасается в магнитном поле, а приPр<0 – в электрическом.
Мгновенная, средняя (активная) мощность измеряются в ваттах [Вт], комплексная – в вольт-амперах [ВА], реактивная мощность – в реактивных вольт-амперах [вар]. Хотя все мощности имеют размерность [Дж/с], физический смысл этих понятий различен [12].
Выделим действительную и мнимую часть (5.8):
, (5.12)
. (5.13)
Из (5.12) следует, что средняя мощностьстороннегоисточникатратится натепловые потерив объемеVи насоздание ЭМПза пределамиV (рис. 5.1).
Из (5.13) следует, что реактивная мощность стороннегоисточникарасходуется на создание потока реактивной мощности через границуVи на создание запасов реактивной энергии в объемеV. Даже при отсутствии стороннего источника вVвозможны колебания энергии при переходе электрической энергии в магнитную и наоборот подобно тому, как это происходит в колебательномLC-контуре без потерь[12].
Скорость движения энергии(vэ) определяется отношениемвектора Пойтинга к объемной плотности энергии ЭМВ. Из рис. 5.2 следует, что за времяtэнергиязаполняет объемV=Sl=Svэt, с другой стороны. После преобразований получим:
. (5.14)
Для нахождения скорости движения гармоническогосигнала в (5.14) следует подставлятьсредниеза период значения[11].