6. Волновые уравнения для векторов эмп.

Для анализа распространяющихся ЭМВ из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме целесообразно выделить уравнения, которые зависят либо только от , либо только от. При выводе будем полагать, что параметры среды (,,) не зависят от координат и времени.

Возьмем ротор от (3.7):

. (6.1)

После преобразования левой части по (2.15) и правой части по (3.8):

. (6.2)

С учетом (3.10) после преобразований получим:

. (6.3)

Мы учли следующее соотношение для скорости светав вакууме:

. (6.4)

Аналогичным образом из (3.8) с использованием (3.7) и (3.9) получаем:

. (6.5)

Уравнения (6.3) и (6.5) называют волновыми уравнениями Ж. Д’Аламбера[5, 12]. Если правая часть равна нулю, то уравнение называютоднородным, а если нет –неоднородным. При отсутствии электрических зарядов (=0) уравнения (6.3) и (6.5) практически совпадают, что подтверждает равноправие векторовиу распространяющегося в пространстве ЭМП.

Несмотря на кажущуюся независимость (6.3) и (6.5) следует помнить о том, что у переменного ЭМП векторы исвязаны и не могут существовать друг без друга (следует из (3.7)-(3.10)).

Волновые уравнения в комплексной формевыводятся из уравнений Максвелла в комплексной форме (3.16)-(3.18) или из (6.3) и (6.5) после замены производных по времени согласно (3.16).

, (6.6)

, (6.7)

где –волновое число:

. (6.8)

Уравнения (6.6)-(6.7) называют волновыми уравнениями Г. Гельмгольца[1-5].

В случае отсутствия потерь проводимости(=0) исчезают вторые слагаемые в (6.3) и (6.5), а также в (6.6)-(6.8) возможно упрощение –.

При отсутствии магнитных потерь .

При наличии сторонних источников ЭМП или наличии зависимости параметров среды от координат левая часть уравнения не изменяется, но в правой части появляютсядополнительные слагаемые.

Например, если проводимость среды зависит от координат ((x, y, z)), то ее нельзя выносить зав (6.1), а следует выполнить преобразование по (2.15).

В итоге (6.3) запишется в виде:

. (6.9)

Для вакуума (=0,==1)уравнение Д’Аламбера(6.3) упрощается :

. (6.10)

Для получается аналогичное уравнение (в (6.10)заменяется на).

Рассмотренные уравнения называются волновымипотому, что их решениями являютсяволны, и, в частности, –ЭМВ (волновые уравнения вида (6.10) в физике были получены задолго до обнаружения ЭМВ).

Как показали расчеты и эксперименты, «произвольная» в физических аналогах (6.10) константа сдля ЭМП удивительным образом совпадает со значениемскорости света в вакууме. Из этого был сделан вывод о том, чтоЭМВ и свет имеют одну и ту же природу. Как будет показано ниже, в пространстве без потерьЭМВ распространяются со скоростью света.

Полученные волновые уравнения относятся к классу дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных гиперболического типа [14-16]. Для произвольной формы волны и произвольной системы координат волновые уравнения решить весьма трудно, поскольку вид решения и методы его получения зависят от начальных условий и т. п. В дальнейшем будем считать, что направление распространения ЭМВ совпадает с осью z.